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本ページでは…
本ページでは、ゲージ場における電磁波の波動方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\end{align*}
をマクスウェル方程式から導く。
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前ページでは、4つの式から構成されるマクスウェル方程式をゲージ場を用いて1つの式で表した次式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\end{align*}
を導出した。
内容
電磁波の波動方程式(ゲージ場)とは
真空中において、ゲージ場を用いて表したマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{1}\end{align*}
から導かれる次の式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\tag{2}\end{align*}
をゲージ場における電磁波の波動方程式という。アインシュタインの縮約記法を用いずに表すと
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}F^{\mu\nu}-\boldsymbol \nabla^2F^{\mu\nu}&=0\tag{3}\end{align*}
アインシュタインの縮約記法を用いないと電磁波の波動方程式(2)は
\begin{align*}\partial_0\partial^0 F^{\rho\nu}+\partial_1\partial^1 F^{\rho\nu}+\partial_2\partial^2 F^{\rho\nu}+\partial_3\partial^3 F^{\rho\nu}=0\end{align*}
となり、微分ベクトル
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
を用いずに表すと
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}F^{\mu\nu}-\frac{\partial^2 }{\partial x^2}F^{\mu\nu}-\frac{\partial^2 }{\partial y^2}F^{\mu\nu}-\frac{\partial^2 }{\partial z^2}F^{\mu\nu}&=0\end{align*}
となり式(3)となる。
となり、速度が\(v\)の波動\(\varPsi\)は次の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\varPsi&=0\tag{4}\end{align*}
に従う(以前のページを参照)ため、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を構成する電場や磁場(または磁束密度)は真空中では波のように振る舞うと考えられる。空間を伝わっていく電場と磁場の波を電磁波と呼び、光速\(c\)で伝播する。
電磁波の波動方程式(ゲージ場)の導出①
ゲージ場におけるマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{1}\end{align*}
から電磁波の波動方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\tag{2}\end{align*}
を導く。
初めに、真空中では\(j^\nu=0\)のため、マクスウェル方程式は
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=0\tag{5}\end{align*}
となり、両辺に微分ベクトル\(\partial^\rho\)を使用させると
\begin{align*}\partial^\rho\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=0\tag{6}\end{align*}
となる。また、式(6)の添え字\(\rho\)と\(\nu\)を入れ替えた
\begin{align*}\partial^\nu\partial_\mu (\partial^\mu A^\rho-\partial^\rho A^\mu)=0\tag{7}\end{align*}
と式(6)との差をとると
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\tag{2}\end{align*}
\begin{align*}\partial^\rho\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)-\partial^\nu\partial_\mu (\partial^\mu A^\rho-\partial^\rho A^\mu)=0\\\rightarrow\partial^\rho\partial_\mu \partial^\mu A^\nu-\partial^\nu\partial_\mu \partial^\mu A^\rho=0\\\rightarrow\partial_\mu \partial^\mu (\partial^\rho A^\nu-\partial^\nu A^\rho)=0\\\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\end{align*}
4行目への変形では電磁場テンソルの定義式
\begin{align*}F^{\rho\nu}=\partial^\rho A^\nu-\partial^\nu A^\rho\end{align*}
を用いた。
となって、ゲージ場における電磁波の波動方程式が導かれる。
電磁波の波動方程式(ゲージ場)の導出②
以前のページで求めた電磁波の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol E}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E&=\boldsymbol0\tag{8}\\\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol H}{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H&=\boldsymbol0\tag{9}\end{align*}
からもゲージ場における電磁波の波動方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu F^{\rho\nu}=0\tag{2}\end{align*}
を導くことができる。
アインシュタインの縮約記法を用いて微分ベクトルで式(8)と式(9)を表すと
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu \boldsymbol E&=\boldsymbol 0\tag{10}\\\partial_\mu\partial^\mu \boldsymbol B&=\boldsymbol 0\tag{11}\end{align*}
アインシュタインの縮約記法では1つの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき、総和記号が省かれていても添え字に関して総和をとる。
微分ベクトルは
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
であるため、式(8)と式(9)は
\begin{align*}\partial_\rho\partial^\rho \boldsymbol E&=\boldsymbol 0\\\partial_\rho\partial^\rho \boldsymbol H&=\boldsymbol 0\end{align*}
となる。また、真空中における構成方程式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\mu_0\boldsymbol H\end{align*}
を用いると、式(10)と式(11)が導かれる。
となる。電磁場テンソルの定義は
\begin{align*} F^{\rho\nu}=\left(\begin{array}{c}0&-E^1/c&-E^2/c&-E^3/c\\E^1/c&0&-B^3&B^2\\E^2/c&B^3&0&-B^1\\E^3/c&-B^2&B^1&0\end{array}\right)\tag{12}\end{align*}
であるから、この定義と電磁波の波動方程式(10)と(11)からも、ゲージ場における電磁波の波動方程式(2)が成り立つことがわかる。
電磁波が従うアインシュタインの関係式
量子力学において、微分演算子とエネルギー\(E\)·運動量\(\boldsymbol p\)には
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow E\\-i\hbar \boldsymbol\nabla&\rightarrow \boldsymbol p\end{align*}
の関係がある(以前のページを参照)。これらの両辺を二乗して少し変形すると
\begin{align*}\frac{\partial^2}{\partial t^2}&\rightarrow -\frac{E^2}{\hbar^2}\\ \boldsymbol \nabla^2&\rightarrow -\frac{\boldsymbol p^2}{\hbar^2}\end{align*}
となり、電磁波の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}F^{\mu\nu}-\boldsymbol \nabla^2F^{\mu\nu}&=0\tag{3}\end{align*}
にこれらの関係を適応させると次の式
\begin{align*}E^2=\boldsymbol p^2c^2\tag{13}\end{align*}
が得られる。これは電磁波が従うアインシュタインの関係式であり、通常のアインシュタインの関係式
\begin{align*}E^2=m^2c^4+\boldsymbol p^2c^2\tag{14}\end{align*}
と比べると、電磁波の源である光子は質量\(m\)がゼロであることが分かり、質量\(m\)がゼロである粒子は光速\(c\)で動くことが分かる。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式がポアンカレ変換(ローレンツ変換と時空座標の並進)の下で共変であることをみる。
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