【やさしい量子力学】有限の深さの井戸型ポテンシャル

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1. 有限の深さの井戸型ポテンシャル
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本ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャル

\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}

における時間に依存しないシュレーディンガー方程式

\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\end{align*}

を導き、井戸の外で\(E\text{＜}V\)となる束縛状態と\(V\text{＜}E\)となる散乱状態が存在することを確認する。

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前ページでは、自由粒子における時間に依存しないシュレーディンガー方程式

\begin{align*}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_k=E\psi_k\end{align*}

を周期的境界条件の下で解き、波動関数\(\psi_k\)

\begin{align*}\psi_k=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{i{kx}}\end{align*}

とエネルギー準位\(E\)

\begin{align*}E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\end{align*}

を求めた。

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有限の深さの井戸型ポテンシャル

有限の深さの井戸型ポテンシャルとは、井戸の左端を\(x=-\frac{a}{2}\)、井戸の右端を\(x=\frac{a}{2}\)として、井戸の長さが\(a\)であり、井戸の中ではポテンシャルエネルギー\(V\)はゼロ、井戸の外ではポテンシャルエネルギー\(V\)が有限の値\(V_1\)となっているポテンシャルをいう。

\begin{align*}V=V_1&\ \ \ \ x\leqq -\frac{a}{2},\frac{a}{2}\leqq x\\V=0&\ \ \ \ -\frac{a}{2}\text{＜}x\text{＜}\frac{a}{2}\end{align*}

有限の深さの井戸型ポテンシャルにおいて、自由粒子が存在するときにエネルギー\(E\)の固有関数\(\varPsi_n\)を求めてみる。もし、系の状態\(\varPsi\)を求めたいときは、エネルギー固有関数の一次結合で表すことができる。

\begin{align*}\varPsi=\sum_{n}c_n\varPsi_n\tag{4}\end{align*}

今回、ハミルトニアンは

\begin{align*}H=\frac{p_x^2}{2m}+V\tag{5}\end{align*}

であり、運動量\(p_x\)を運動量演算子\(-i\hbar\frac{d}{dx}\)に置き換えるとハミルトン演算子\(\hat H\)は

\begin{align*}\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\tag{6}\end{align*}

となる。今回のハミルトニアンは時間に依存しないため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は以前のページより

\begin{align*}\varPsi_n=\psi_ne^{-i(E/\hbar)t}\tag{7}\end{align*}

であり、波動関数\(\psi_n\)の形は時間に依存しないシュレーディンガー

\begin{align*}\hat H\psi_n=E\psi_n\tag{8}\end{align*}

を解けば求めることができる。式(8)の具体的な形は

\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\tag{9}\end{align*}

であり、以後、解きやすいように

\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi_n=0\tag{10}\end{align*}

と変形しておく。

井戸の中では常に\(V\text{＜}E\)だが、井戸の外では\(E\text{＜}V\)の時と\(V\text{＜}E\)の時があり、前者の時を束縛状態、後者の時を散乱状態という。

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次ページでは、有限の深さの井戸型ポテンシャルにおける束縛状態\(E\text{＜}V_1\)において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式から波動関数の形を求め、トンネル効果と呼ばれる現象が見られることを確認する。

また、波動関数の形は、最低エネルギー準位から偶関数、奇関数、偶関数⋯となり、エネルギー準位の数\(N\)が満たす関係式を求める。

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