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本ページでは、無限に深い井戸型ポテンシャルにおける時間に依存しないシュレーディンガー方程式
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\end{align*}
を解き、波動関数\(\psi_n\)
\begin{align*}\psi_n=\sqrt{\frac{a}{2}}\sin\frac{n\pi}{a}x\end{align*}
とエネルギー準位\(E\)
\begin{align*}E=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}\frac{n^2}{a^2}\end{align*}
を求める(ただし、\(n=1,2,3,\cdots\))。
内容
無限に深い井戸型ポテンシャル
無限に深い井戸型ポテンシャルとは、井戸の左端を\(x=0\)、井戸の右端を\(x=a\)として、井戸の長さが\(a\)であり、井戸の中ではポテンシャルエネルギー\(V\)はゼロ、井戸の外ではポテンシャルエネルギー\(V\)が\(\infty\)となっているポテンシャルをいう。
\begin{align*}V=\infty&\ \ \ \ x\leqq 0,a\leqq x\\V=0&\ \ \ \ 0\text{＜}x\text{＜}a\end{align*}
無限に深い井戸型ポテンシャルにおいて、自由粒子が存在するときにエネルギー\(E\)の固有関数\(\varPsi_n\)を求めてみる。もし、系の状態\(\varPsi\)を求めたいときは、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の一次結合で表すことができる。
\begin{align*}\varPsi=\sum_{n}c_n\varPsi_n\tag{1}\end{align*}
今回、ハミルトニアンは
\begin{align*}H=\frac{p_x^2}{2m}+V\tag{2}\end{align*}
であり、運動量\(p_x\)を運動量演算子\(-i\hbar\frac{d}{dx}\)に置き換えるとハミルトン演算子\(\hat H\)は
\begin{align*}\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\tag{3}\end{align*}
となる。今回のハミルトニアンは時間に依存しないため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は以前のページより
\begin{align*}\varPsi_n=\psi_ne^{-i(E/\hbar)t}\tag{4}\end{align*}
であり、波動関数\(\psi_n\)の形は時間に依存しないシュレーディンガー
\begin{align*}\hat H\psi_n=E\psi_n\tag{5}\end{align*}
を解けば求めることができる。式(5)の具体的な形は
\begin{align*}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\right)\psi_n=E\psi_n\tag{6}\end{align*}
であり、以後、解きやすいように
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi_n=0\tag{7}\end{align*}
と変形しておく。
井戸の外での波動関数\(\psi_n\)
井戸の外ではポテンシャルエネルギー\(V\)は\(\infty\)であり、時間に依存しないシュレーディンガー方程式(7)は
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-\infty)\psi_n=0\tag{8}\end{align*}
となる。式(8)には無限大\(\infty\)が現れているが、波動関数\(\psi_n\)は有限の値をとるため、\(\frac{d^2\psi_n}{dx^2}\)も有限の値であり、エネルギー\(E\)も有限の値であるため、井戸の外では波動関数\(\psi_n\)は
\begin{align*}\psi_n=0\tag{9}\end{align*}
となければならない。つまり、井戸の外には自由粒子は存在できない。
井戸の中での波動関数\(\psi_n\)
井戸の中ではポテンシャルエネルギー\(V\)はゼロのため、時間に依存しないシュレーディンガー方程式(7)は
\begin{align*}\frac{d^2\psi_n}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi_n=0\tag{10}\end{align*}
と、2階の線形微分方程式になる。エネルギー\(E\)が負にならないことに注意すると、この微分方程式はすぐに解くことができ、一般解は
\begin{align*}\psi_n=Ae^{i(\sqrt{2mE}/\hbar)x}+Be^{-i(\sqrt{2mE}/\hbar)x}\tag{11}\end{align*}
となる。
波動関数は1価連続有限関数でなければならないため、井戸の左端及び右端で連続になるように
\begin{align*}\psi_n\left(x=0\right)&=A+B=0\tag{12}\\\psi_n\left(x=a\right)&=Ae^{i(\sqrt{2mE}/\hbar)a}+Be^{-i(\sqrt{2mE}/\hbar)a}=0\tag{13}\end{align*}
を満たさなければならない。式(12)を解くと
\begin{align*}A=-B\tag{14}\end{align*}
でなければならず、式(13)と式(14)より
\begin{align*}\psi_n(x=a)&=Ae^{i(\sqrt{2mE}/\hbar)a}-Ae^{-i(\sqrt{2mE}/\hbar)a}\\&=A\cos\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)+iA\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)-A\cos\left(-\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)-iA\sin\left(-\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)\\&=2iA\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a\right)=0\\\rightarrow\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a&=n\pi\tag{15}\end{align*}
でなければならないため、波動関数\(\psi_n\)は
\begin{align*}\psi_n=2iA\sin\frac{n\pi}{a}x\tag{16}\end{align*}
となる。ここで、\(n=0\)だと自由粒子が存在しなくなってしまうので、\(n=1,2,3,\cdots\)である。
定数\(A\)は規格化から求めることができる。｢波動関数\(\psi_n\)の絶対値2乗が確率密度を表す｣と仮定すると
\begin{align*}1&=\int_0^a dx\ \vert\psi_n\vert^2\\&=4\vert A\vert^2\int_0^a dx\ \sin^2\frac{n\pi}{a}x\\&=4\vert A\vert^2\int_0^a dx\ \frac{1-\cos\frac{2n\pi}{a}x}{2}\\&=4\vert A\vert^2\left[\frac{1}{2}x-\frac{a}{4n\pi}\sin\frac{2n\pi}{a}x\right]_0^a\\&=2\vert A\vert^2a\tag{17}\end{align*}
と変形でき、規格化定数\(A\)は
\begin{align*}A=e^{i\theta}\sqrt{\frac{1}{2a}}\tag{18}\end{align*}
となる。位相因子\(e^{i\theta}\)は任意性があるため、位相を\(\theta=\frac{3\pi}{2}\)とすると規格化定数\(A\)は
\begin{align*}A=-i\sqrt{\frac{1}{2a}}\tag{19}\end{align*}
となり、波動関数\(\psi_n\)は
\begin{align*}\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi}{a}x\tag{20}\end{align*}
と求まる。また、エネルギー\(E\)に関しては、式(15)から
\begin{align*}E=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}\frac{n^2}{a^2}\tag{21}\end{align*}
と求まる。
エネルギー固有関数まとめ
無限に深い井戸型ポテンシャル(1次元)において、井戸の中でのエネルギー固有関数\(\varPsi_n\)の形は
\begin{align*}\varPsi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\left(\sin\frac{n\pi}{a}x\right)e^{-i(E/\hbar)t}\tag{22}\end{align*}
であり、対応するエネルギー固有値\(E\)は
\begin{align*}E=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}\frac{n^2}{a^2}\tag{21}\end{align*}
である(ただし、\(n=1,2,3,\cdots\))。
式(20)を見ると、\(e^{-i(E/\hbar)t}\)は複素周期関数であるため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)は振幅が\(\vert\psi_n\vert\)の定常波であることが分かる。また、式(21)を見るとエネルギー固有値が不連続であり、最低エネルギー準位はゼロでないことがわかる。このように、有限の値をもつ最低エネルギー、零点エネルギーとよぶ。
運動量固有関数
以前のページで述べたが、ある古典物理量の演算子\(\hat F’\)に対応する固有関数系\(\{\phi_j\}\)の1次結合によって、他の古典物理量の演算子\(\hat F\)に対応するどのような固有関数\(\varPsi_i\)も表せる。
そのため、エネルギー固有関数\(\varPsi_n\)
\begin{align*}\varPsi_n&=\sqrt{\frac{2}{a}}\left(\sin\frac{n\pi}{a}x\right)e^{-i(E/\hbar)t}\\&\propto\sin\frac{n\pi}{a}x\tag{23}\end{align*}
を運動量演算子\(\hat p_x\)
\begin{align*}\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\tag{24}\end{align*}
に対応する固有関数系
\begin{align*}\phi_{p_x}&\propto e^{i(p_x/\hbar)x}\tag{25}\end{align*}
の1次結合で表してみると、エネルギー固有関数は
\begin{align*}\varPsi_n&\propto\left(\sin\frac{n\pi}{a}x\right)\\&\propto e^{i(n\pi/a)x}-e^{-i(n\pi/a)x}\\&=e^{i(\vert p_x\vert/\hbar)x}-e^{-i(\vert p_x\vert/\hbar)x}\\&\propto\phi_{ p_x}-\phi_{-p_x}\tag{26}\end{align*}
となり、運動量\(p_x\)の固有関数と運動量\(-p_x\)の固有関数との1次結合で表されることが分かる。
※※※式(26)の2行目への変換ではオイラーの公式を用い、3行目への変換では
\begin{align*}\frac{n\pi}{a}&=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\\&=\frac{\vert p_x\vert}{\hbar}\tag{27}\end{align*}
を用いた。※※※
そのため、エネルギー固有状態と運動量固有状態は一致しておらず、エネルギー固有状態は2つの逆向きの運動量固有状態の1次結合で表され、井戸の中にある自由粒子の運動量の大きさ\(\vert p_x\vert\)は確定するが、どちらの方向に移動しているかは決まらない。
次ページから⋯
次ページでは、無限に深い井戸型ポテンシャル(3次元)における時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解き、波動関数とエネルギー準位を求める。また、3次元の井戸の形が立方体のとき、縮重状態が存在することを確認する。
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