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本ページでは、自由粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu f&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}f\end{align*}
において、正エネルギーを持つ波動関数\(f_k^+\)と負エネルギーを持つ波動関数\(f_k^-\)が次の規格直交関係
\begin{align*}(f_k^\pm\vert f_{k’}^\pm)&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\(f_k^\pm\vert f_{k’}^\mp)&=0\end{align*}
を満たすことを調べる。ここで直交記号\((\vert)\)は次のように定義される。
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\end{align*}
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前ページでは、非相対論的極限において負のエネルギー解
\begin{align*}E=- c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
における荷電粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}
は、反粒子が従うシュレーディンガー方程式の複素共役
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\end{align*}
となることを確かめた。
内容
クライン-ゴルドン方程式における直交関係
自由粒子のシュレーディンガー方程式において、2つ波動関数\(f_k\)と\(f_{k’}\)の規格直交関係は
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x \ (f_{k})^*f_{k’}=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\tag{1}\end{align*}
であり(以前のページを参照)、ブラ-ケット記号\(\langle\vert\rangle\)を用いて表すと
\begin{align*}\langle f_k\vert f_{k’}\rangle&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\tag{2}\end{align*}
と表せた(以前のページを参照)。
これに対し、自由粒子のクライン-ゴルドン方程式において、｢正エネルギー解を持つ2つの波動関数\(f_k^+\)と\(f_{k’}^+\)｣または｢負エネルギー解を持つ2つの波動関数\(f_k^-\)と\(f_{k’}^-\)｣の規格直交関係は
\begin{align*} \int d^3\boldsymbol x\ (f_k^\pm)^*i(\partial_0 f_{k’}^\pm)-i(\partial_0(f_{k}^\pm)^*)f_{k’}^\pm=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\tag{3}\end{align*}
となり、｢異なる符号のエネルギー解を持つ2つの波動関数\(f_k^\pm\)と\(f_{k’}^\mp\)｣の規格直交関係は
\begin{align*} \int d^3\boldsymbol x\ (f_k^\pm)^*i(\partial_0 f_{k’}^\mp)-i(\partial_0(f_{k}^\pm)^*)f_k^\mp=0\tag{4}\end{align*}
となる。また、次の直交記号\((\vert)\)
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\tag{5}\end{align*}
を定義すると規格直交関係は
\begin{align*}(f_k^\pm\vert f_{k’}^\pm)&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\tag{6}\\(f_k^\pm\vert f_{k’}^\mp)&=0\tag{7}\end{align*}
と表せる。ここで、シュレーディンガー方程式の規格直交関係と形が異なるのはクライン-ゴルドン方程式が時間に関して2階微分であるからであり、以前のページで確率密度\(\rho\)も形が異なることを確認した。また、クライン-ゴルドン方程式が時間に関して2階微分であるため、正エネルギー解と負エネルギー解が存在し、｢同じ符号のエネルギー解同士の規格直交関係｣と｢異なる符号のエネルギー解同士の規格直交関係｣を別々で考えなければならない。
規格直交関係の導出
クライン-ゴルドン方程式における規格直交関係式を導くために、2つのクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu f&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}f\tag{8}\\\partial_\mu\partial^\mu g&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}g\tag{9}\end{align*}
を用意する。まず、式(8)の複素共役をとると
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu f^*&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}f^*\tag{10}\end{align*}
となり、式(10)の両辺の右から\(g\)を掛けて空間積分すると
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ (\partial_\mu\partial^\mu f^*)g=-\int d^3\boldsymbol x\ \frac{m^2c^2}{\hbar^2}f^*g\tag{11}\end{align*}
が得られる。一方、式(9)の両辺の左から\(f^*\)を掛けて空間積分すると
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ f^*\partial_\mu\partial^\mu g=-\int d^3\boldsymbol x\ \frac{m^2c^2}{\hbar^2}f^*g\tag{12}\end{align*}
が得られる。式(11)と式(12)は右辺が等しいため次の関係
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_\mu\partial^\mu g-(\partial_\mu\partial^\mu f^*)g\}=0\tag{13}\end{align*}
が成り立ち、空間成分(\(j=1,2,3\))のみを部分積分すると
\begin{align*}&\ \int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_j\partial^j g-(\partial_j\partial^j f^*)g\}\\&=\int d^3\boldsymbol x\ \{\partial_j(f^*\partial^j g)-(\partial_j f^*)(\partial^j g)-\partial_j((\partial^j f^*)g)+(\partial^j f^*)(\partial_j g)\}\\&=\int d^3\boldsymbol x\ \{\partial_j(f^*\partial^j g)-\partial_j((\partial^j f^*)g)\}\tag{14}\end{align*}
となり、全て全微分項のため式(13)で無視すると時間成分のみが残り
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_0\partial^0 g-(\partial_0\partial^0 f^*)g\}=0\tag{15}\end{align*}
となる。時間成分の式(15)に
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{-(\partial^0 f^*)(\partial_0g)+(\partial_0 f^*)(\partial^0g)\}=0\tag{16}\end{align*}
を足すと
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_0\partial^0 g-(\partial^0 f^*)(\partial_0g)+(\partial_0 f^*)(\partial^0g)-(\partial_0\partial^0 f^*)g\}=0\tag{17}\end{align*}
となり、変形すると
\begin{align*}(-E_g+E_f)\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*i(\partial^0 g)-i(\partial^0 f^*)g\}&=0\tag{18}\end{align*}
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_0\partial^0 g-(\partial^0 f^*)(\partial_0g)+(\partial_0 f^*)(\partial^0g)-(\partial_0\partial^0 f^*)g\}&=0\\\rightarrow\frac{1}{\hbar}\int d^3\boldsymbol x\ \{-iE_gf^*(\partial^0 g)+iE_g(\partial^0 f^*)g+iE_ff^*(\partial^0 g)-iE_f(\partial^0 f^*)g\}&=0\\\rightarrow(-E_g+E_f)\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*i(\partial^0 g)-i(\partial^0 f^*)g\}&=0\end{align*}
2行目への変形では次のエネルギーに関する固有値方程式
\begin{align*}\partial_0 f&=-\frac{i}{\hbar}E_ffg\\\partial_0 g&=-\frac{i}{\hbar}E_g\end{align*}
を用いた。
となる。もし、エネルギー\(E_f\)と\(E_g\)が異なる値のとき(粒子の質量は同じであるため、運動量\(\boldsymbol k\)が異なる値のときと同値である))、\(-E_g-E_f\neq0\)であるから
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*i(\partial^0 g)-i(\partial^0 f^*)g\}&=0\tag{19}\end{align*}
が成り立たなければならない。一方、関数\(f\)と関数\(g\)が等しく、エネルギー\(E_f\)と\(E_g\)が同じ値(運動量\(\boldsymbol k\)が同じ値)のとき、\(-E_g+E_f=0\)であるから
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*i(\partial^0 f)-i(\partial^0 f^*)f\}\end{align*}
の値は\(0\)以外の値もとれる。また、以前のページより上記の値は係数を除き確率密度\(\rho\)と全く同じ形をしているから、必ず\(0\)以外の値をとり、関数\(f\)が正エネルギー解のときは正の値となって、関数\(f\)が負のエネルギーのときは負の値となる。そのため、その値の絶対値を\(\delta(\boldsymbol 0)\)とすると
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*i(\partial^0 f)-i(\partial^0 f^*)f\}=\pm\delta^3(\boldsymbol 0)\tag{20}\end{align*}
となって関数\(f\)の規格化を行うことができる。
以上より、自由粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu f&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}f\tag{8}\end{align*}
を満たす正エネルギー解の波動関数\(f_k^+\)と負のエネルギー解の波動関数\(f_k^-\)を用いて表すと式(19)と式(20)は直交記号\((\vert)\)を用いて
\begin{align*}(f_k^\pm\vert f_{k’}^\pm)&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\tag{6}\\(f_k^\pm\vert f_{k’}^\mp)&=0\tag{7}\end{align*}
と表すことができる。
規格直交関係の例
自由粒子のクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu f&=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}f\tag{8}\end{align*}
を満たす正エネルギー解の波動関数\(f_k^+\)と負のエネルギー解の波動関数\(f_k^-\)は規格化定数\(N_k\)を用いて
\begin{align*}f_k^\pm=N_ke^{\mp i(E_kt-\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x)}\tag{21}\end{align*}
と表すことができる。式(6)に式(21)を代入すると
\begin{align}\pm(2\pi)^3\vert N_k\vert^22E_k\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)=\pm\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\tag{22}\end{align}
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\pm})&=\int \text d^3\boldsymbol x\ \{(f_k^\pm)^*i(\partial_0 f_{k’}^\pm)-i(\partial_0(f_{k}^\pm)^*)f_{k’}^\pm\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{(N_k)^*e^{\pm i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}×i\left(\mp iN_{k’} E_{{k}’}e^{\mp i(E_{\boldsymbol{k}’}t-\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{x})}\right)-i\left(\pm i(N_k)^*E_{{k}}e^{\pm i(E_{{k}}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right)×N_{k’}e^{\mp i(E_{{k}’}t-\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\pm(N_k)^*N_{k’}(E_{{k}’}+E_{k})e^{\pm i(E_{k}-E_{{k}’})t\mp i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\\&=\pm(2\pi)^3(N_k^*)N_{k’}(E_{\boldsymbol{k}’}+E_\boldsymbol{k})e^{\pm i(E_{k}-E_{{k}’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\\&=\pm(2\pi)^3\vert N_k\vert^22E_k\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\\&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align}
4行目への変形ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、5行目への変形ではデルタ関数\(\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\)が\(\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}’\)の点でのみ値を持ち、それ以外の点では\(0\)になる性質を使った次の関係式
\begin{align}E_{{k}’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)=E_{{k}}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align}
を用いた。
が成り立つから、規格化定数\(N_k\)は
\begin{align*}N_k=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32E_k}}\tag{23}\end{align*}
となって(位相因子\(e^{i\theta}\)において位相\(\theta\)の任意性があるため\(\theta=0\)とした)、波動関数\(f_k^\pm\)は
\begin{align*}f_k^\pm=\frac{e^{\mp i(E_kt-\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x)}}{\sqrt{(2\pi)^32E_k}}\tag{24}\end{align*}
と規格化できる。
規格直交関係の式(7)に規格化された波動関数の式(24)を代入すると
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})&=0\tag{62}\end{align}
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})&=\int \text d^3\boldsymbol x\ \{(f_k^\pm)^*i(\partial_0 f_{k’}^\mp)-i(\partial_0(f_{k}^\pm)^*)f_{k’}^\mp\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\frac{e^{\pm i(E_{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{k}}}×i\frac{\pm iE_{{k}’}e^{\pm i(E_{{k}’}t-\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{\boldsymbol{k}’}}}-i\frac{\pm iE_{{k}}e^{\pm i(E_{\boldsymbol{k}}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{{k}}}}×\frac{e^{\pm i(E_{\boldsymbol{k}’}t-\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{{k}’}}}\right\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\frac{\mp(E_{{k}’}-E_{k})e^{\pm i(E_{k}+E_{{k}’})t\mp i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\cdot\boldsymbol{x})}}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{k}2E_{{k}’}}}\right\}\\&=\frac{\mp(E_{{k}’}-E_{k})e^{\pm i(E_{k}+E_{{k}’})t}}{\sqrt{2E_{k}2E_{{k}’}}}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\\&=0\end{align}
4行目への変形ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、5行目への変形ではデルタ関数\(\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\)が\(\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{k}’\)の点でのみ値を持ち、それ以外の点では\(0\)になる性質を使った次の関係式
\begin{align}E_{{k}’}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)&=E_{-{k}}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\\&=E_{{k}}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\end{align}
を用いた。最後の関係式では次のアインシュタインの関係式
\begin{align}E_{\boldsymbol{k}}=\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2}=\sqrt{(-\boldsymbol{k})^2+m^2}=E_{-\boldsymbol{k}}\end{align}
を用いている。
となって、しっかり成り立つことが分かる。
シュレーディンガー方程式における規格直交関係との違い
シュレーディンガー方程式における規格直交関係との違いを考えてみる。
まず、クライン-ゴルドン方程式の規格直交関係を導出する過程で現れた式(15)を変形すると
\begin{align*}(E_g{}^2-E_f{}^2)\int d^3\boldsymbol x\ f^* g=0\tag{15}\end{align*}
\begin{align*}(E_g{}^2-E_f{}^2)\int d^3\boldsymbol x\ f^* g&=0\\\rightarrow\int d^3\boldsymbol x\ \{f^*\partial_0\partial^0 g-(\partial_0\partial^0 f^*)g\}&=0\end{align*}
2行目への変形では次のエネルギーに関する固有値方程式
\begin{align*}\partial_0 f&=-\frac{i}{\hbar}E_ffg\\\partial_0 g&=-\frac{i}{\hbar}E_g\end{align*}
を用いた。
となり、シュレーディンガー方程式のときの規格直交関係と同じ形が現れる。この形でクライン-ゴルドン方程式を満たす波動関数の規格直交化を行なうと、エネルギーの絶対値が異なる2つの波動関数\(f\)と\(g\)では\(E_f{}^2-E_g{}^2\neq0\)であるから
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ f^* g=0\tag{15}\end{align*}
が成り立たなければならず、右辺は\(0\)であるから関数の直交を表現することができる。しかし、エネルギーの絶対値が同じ2つの波動関数では\(E_f{}^2-E_g{}^2=0\)であるから次の量
\begin{align*}\int d^3\boldsymbol x\ f^* g\tag{15}\end{align*}
は\(0\)になる必要はなく、全く同じエネルギーであれば規格化できるが、符号だけが異なるエネルギーを持つ2つの波動関数では直交しない可能性がでてくる。実際に、シュレーディンガー方程式の際の規格直交関係で、符号が異なるエネルギーを持つ2つの波動関数\(f_k^\pm\)と\(f_{k’}^\mp\)の直交を調べると
\begin{align}\langle f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp}\rangle&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\left(f_k^{\pm}(x)\right)^\ast f_{k’}^{\mp}(x)\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\left\{\frac{e^{\pm i(E_{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{k}}}×\frac{e^{\pm i(E_{\boldsymbol{k}’}t-\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_{{k}’}}}\right\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\left\{\frac{e^{\pm i(E_{k}+E_{{k}’})t\mp i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\cdot\boldsymbol{x})}}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{k}2E_{{k}’}}}\right\}\\&=\frac{e^{\pm i(E_{k}+E_{{k}’})t}}{\sqrt{2E_{k}2E_{{k}’}}}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\\&=\frac{e^{\pm i2E_{k}t}}{2E_{k}}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)\tag{69}\end{align}
となって、エネルギーの符号だけが異なるとき(\(\boldsymbol k=\boldsymbol k’\)のとき)は\(0\)にならないことが分かる。
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