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本ページでは、荷電粒子が従うシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+qA^0\right\}\varPsi\end{align*}
を導出し、この方程式がゲージ不変性を持つことを見る。
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前ページでは、角運動量の2乗における固有値方程式
\begin{align*}-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\psi_{lm}=\lambda\psi_{lm}\end{align*}
を解き、固有関数\(\psi_{lm}\)
\begin{align*}\psi_{lm}&=R(r)\varTheta_{lm}(\theta)\varPhi_{m}(\varphi)\\\varPhi_m&=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im\varphi}\\\varTheta_{lm}(\cos\theta)&=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-\vert m\vert)!}{(l+\vert m\vert)!}}P_l^{\vert m\vert}\end{align*}
と固有値\(\lambda\)
\begin{align*}\lambda=l(l+1)\hbar^2\end{align*}
を求めた(ただし、\(P_l^{\vert m\vert}\)はルジャンドル陪多項式であり、\(l=0,1,2,\cdots\),\(m=-l,-(l-1),\cdots,-1,0,1,\cdots,l-1,l\)である)。
内容
荷電粒子のハミルトニアン
荷電粒子のハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{1}\end{align*}
の形(以前のページ参照)をしており、運動量\(\boldsymbol p\)を運動量演算子\(\hat{\boldsymbol p}=-i\hbar\boldsymbol\nabla\)に置き換えて演算子の形\(\hat H\)にすると
\begin{align*}\hat H&=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\boldsymbol \nabla-q\boldsymbol A\right)^2+qA^0\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+qA^0\tag{2}\end{align*}
となる。
荷電粒子のシュレーディンガー方程式
ハミルトニアン\(\hat H\)の式(2)を時間に依存するシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=\hat H\varPsi\tag{3}\end{align*}
に代入すると、次のような荷電粒子のシュレーディンガー方程式が得られる。
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+qA^0\right\}\varPsi\tag{4}\end{align*}
シュレーディンガー方程式のゲージ不変性
荷電粒子のシュレーディンガー方程式をゲージ不変性の視点から眺めてみる。
荷電粒子のシュレーディンガー方程式(4)を変形すると
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{5}\end{align*}
となり、電磁場と相互作用していない粒子におけるシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol \nabla^2\varPsi\tag{6}\end{align*}
に次の2つの変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}&\rightarrow\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\tag{7}\\\boldsymbol \nabla&\rightarrow\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\tag{8}\end{align*}
を施せば荷電粒子のシュレーディンガー方程式(5)になることが分かる。また、荷電粒子のシュレーディンガー方程式(5)に次のゲージ変換(\(f\)は任意の関数)
\begin{align*}A^0&\rightarrow A'{}^0= A^0-\frac{\partial f}{\partial t}\tag{9}\\\boldsymbol A&\rightarrow\boldsymbol A’= \boldsymbol A +\boldsymbol\nabla f\tag{10}\\\varPsi&\rightarrow\varPsi’=e^{\frac{iq}{\hbar}f}\varPsi\tag{11}\end{align*}
を行ない得られた荷電粒子のシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA'{}^0}{\hbar}\right)\varPsi’=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)^2\varPsi’\tag{12}\end{align*}
も変形を繰り返すと元のシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA'{}^0}{\hbar}\right)\varPsi’&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A’}{\hbar}\right)^2\varPsi’\\\rightarrow i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA{}^0}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial t}\right)e^{\frac{iq}{\hbar}f}\varPsi&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}-\frac{iq}{\hbar}\boldsymbol \nabla f\right)^2e^{\frac{iq}{\hbar}f}\varPsi\\\rightarrow i\hbar e^{\frac{iq}{\hbar}f}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi&=-\frac{\hbar^2}{2m}e^{\frac{iq}{\hbar}f}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\\\rightarrow i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\tag{5}\end{align*}
となることから、荷電粒子のシュレーディンガー方程式(5)はゲージ不変性を持つことが分かる。
以上より、式(7),(8)の変換をシュレーディンガー方程式(6)に施せばゲージ不変性を持つシュレーディンガー方程式(5)が得られる。
1点注意だが、荷電粒子のシュレーディンガー方程式(5)がゲージ変換されると式の形は変わらないが、波動関数\(\varPsi’\)には位相因子\(e^{\frac{iq}{\hbar}f}\)が掛けられており、波動関数\(\varPsi’\)の位相が\(\frac{q}{\hbar}f\)だけズレている。
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次ページでは、非相対論的極限において正のエネルギー解
\begin{align*}E=+ c\sqrt{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+m^2c^2}+qA^0\end{align*}
におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align*}\left\{\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)^2-\left(\boldsymbol\nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi=0\end{align*}
は、シュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{iqA^0}{\hbar}\right)\varPsi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi\end{align*}
となることを確かめる。
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