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本ページでは、クリストッフェル記号
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} &={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \\& = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right)\end{align}
が、基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ少し動かしたとき、その基底が \(\boldsymbol e_\mu\) 方向へどれだけ変化するかを表している、つまり、座標基底の変化率を表していることを確認する。
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前ページでは、座標系の選び方によらず自由粒子の運動を記述する方程式の測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \end{align}
を導き、クリストッフェル記号の定義
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} ={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma}\end{align}
または
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \end{align}
を確認した。
内容
クリストッフェル記号とは
測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{1} \end{align}
にはクリストッフェル記号 \(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} &={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \tag{2} \\& = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \tag{3} \end{align}
が現れるが、この量は一体何を表しているのだろうか。実はクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)は座標基底の変化率を表しており、基底\(\boldsymbol e_\rho\)を\(x^\sigma\)で微分した量はクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)を用いて次のように表すことができる。
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol e_\rho}{\partial x^\sigma} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\boldsymbol e_\mu \tag{4} \end{align}
つまり、クリストッフェル記号
\begin{align}
\Gamma^\mu_{\rho\sigma}
\end{align}
は、基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ少し動かしたとき、その基底が \(\boldsymbol e_\mu\) 方向へどれだけ変化するかを表している。
直交座標の場合
1つ目の例として、2次元直交座標を考える。このとき計量は
\begin{align} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \end{align}
であり、計量成分はすべて定数であるため、計量成分の微分は全てゼロ
\begin{align} \frac{\partial g_{\mu\nu}} {\partial x^\rho} = 0 \end{align}
となる。したがって、式(3)よりクリストッフェル記号は全てゼロ
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = 0 \end{align}
となり、座標基底
\begin{align} \boldsymbol e_x = (1,0) \\\boldsymbol e_y = (0,1) \end{align}
は場所によって変化しないことを表している。
極座標の場合
2つ目の例として、2次元極座標を考える。このとき計量は
\begin{align} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&r^2 \end{pmatrix} \end{align}
であり、\(g_{\theta\theta} = r^2\)のみが座標に依存するので\(g_{\theta\theta}\)の\(r\)微分のみ非ゼロ
\begin{align*}\frac{\partial g_{\theta\theta}} {\partial r}=2r\end{align*}
となり、それ以外の微分はゼロとなる。したがって、式(3)より非ゼロとなるクリストッフェル記号は
\begin{align} \Gamma^r_{\theta\theta} &= -\frac12 g^{rr} \frac{\partial g_{\theta\theta}} {\partial r} = -r \\\Gamma^\theta_{\theta r} &=\frac{1}{2}g^{\theta\theta}\frac{\partial g_{\theta\theta}} {\partial r}= \frac1r\\\Gamma^\theta_{r\theta} &= \frac{1}{2}g^{\theta\theta}\frac{\partial g_{\theta\theta}} {\partial r}=\frac1r \end{align}
逆計量が
\begin{align} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\frac{1}{r^2} \end{pmatrix} \end{align}
であることを用いた。
となり、座標基底
\begin{align} \boldsymbol e_r &= (\cos\theta,\sin\theta) \\\boldsymbol e_\theta&= (-r\sin\theta,r\cos\theta) \end{align}
は場所によって変化することを表している。
具体的には、\(\Gamma^r_{\theta\theta} = -r \)は、角度方向の基底 \(\boldsymbol e_\theta\) を \(\theta\) 方向へ移動させたとき、その基底が半径方向の基底 \(\boldsymbol e_r\) の向きへ \(-r\) 倍だけ変化することを表しており、実際に角度方向の基底\(\boldsymbol e_\theta\) の\(\theta\)微分は
\begin{align} \frac{\partial\boldsymbol e_\theta} {\partial\theta} = -r\boldsymbol e_r \end{align}
となる。また、\(\Gamma^\theta_{r\theta} = \frac1r \)は、半径方向の基底 \(\boldsymbol e_r\) を \(\theta\) 方向へ移動させたとき、その基底が角度方向の基底 \(\boldsymbol e_\theta\) の向きへ \(\frac1r\) 倍だけ変化することを表しており、実際に半径方向の基底\(\boldsymbol e_r\) の\(r\)微分は
\begin{align} \frac{\partial\boldsymbol e_r} {\partial\theta} = \frac1r \boldsymbol e_\theta \end{align}
となる。そして、\(\Gamma^\theta_{\theta r} = \frac1r \)は、角度方向の基底 \(\boldsymbol e_\theta\) を \(r\) 方向へ移動させたとき、その基底が角度方向の基底 \(\boldsymbol e_\theta\) の向きへ \(\frac1r\) 倍だけ変化することを表しており、実際に角度方向の基底\(\boldsymbol e_\theta\) の\(r\)微分は
\begin{align} \frac{\partial\boldsymbol e_\theta} {\partial r} = \frac1r \boldsymbol e_\theta \end{align}
となる。一方、これら以外のクリストッフェル記号はゼロ
\begin{align} \Gamma^\theta_{\theta\theta} = \Gamma^r_{rr} = \Gamma^\theta_{rr} = \Gamma^r_{r\theta} = \Gamma^r_{\theta r} = 0 \end{align}
となり、対応する方向には基底が変化しないことを意味している。
座標基底の変化率となることの証明
クリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)が座標基底の変化率を表していることを確認してみる。
はじめに、基底を微分した量もベクトルであるため、基底の線形結合を用いて
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol e_\rho}{\partial x^\sigma} = A^\mu_{\rho\sigma}\boldsymbol e_\mu \tag{5} \end{align}
と展開しておく。ここで \(A^\mu_{\rho\sigma}\) はまだ未知の係数であり、これがクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)になることを証明する。
計量テンソル\(g_{\rho\sigma}\) は基底同士の内積
\begin{align} g_{\rho\sigma} = \boldsymbol e_\rho\cdot\boldsymbol e_\sigma \tag{6} \end{align}
で定義されるため、これを \(x^\alpha\) で微分すると
\begin{align} \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} &= \frac{\partial}{\partial x^\alpha} ( \boldsymbol e_\rho\cdot\boldsymbol e_\sigma ) \\&= \left(\frac{\partial \boldsymbol e_\rho}{\partial x^\alpha} \right)\cdot\boldsymbol e_\sigma + \boldsymbol e_\rho\cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol e_\sigma}{\partial x^\alpha} \right) \tag{7} \end{align}
となる。ここへ式(5)を代入すると
\begin{align} \frac{\partial g_{\rho\sigma}} {\partial x^\alpha} &= \left( \frac{\partial \boldsymbol e_\rho} {\partial x^\alpha} \right) \cdot \boldsymbol e_\sigma + \boldsymbol e_\rho \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol e_\sigma} {\partial x^\alpha} \right) \\ &= (A^\lambda_{\rho\alpha}\boldsymbol e_\lambda) \cdot \boldsymbol e_\sigma + \boldsymbol e_\rho \cdot (A^\lambda_{\sigma\alpha}\boldsymbol e_\lambda) \\ &= A^\lambda_{\rho\alpha} g_{\lambda\sigma} + A^\lambda_{\sigma\alpha} g_{\rho\lambda} \tag{8} \end{align}
となり、添え字\(\rho\),\(\sigma\),\(\alpha\)を入れ替えて次の2式
\begin{align}
\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}
{\partial x^\rho}&
=
A^\lambda_{\sigma\rho}
g_{\lambda\alpha}
+
A^\lambda_{\alpha\rho}
g_{\sigma\lambda}
\tag{9}
\\\frac{\partial g_{\alpha\rho}} {\partial x^\sigma} &= A^\lambda_{\alpha\sigma} g_{\lambda\rho} + A^\lambda_{\rho\sigma} g_{\alpha\lambda} \tag{10} \end{align}
を準備しておく。そして、次の量
\begin{align*}\frac{1}{2}\left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right)\end{align*}
を計算すると
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}} {\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho}} {\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}} {\partial x^\alpha} \right) &= \frac{1}{2}\left(A^\lambda_{\sigma\rho} g_{\lambda\alpha} + A^\lambda_{\alpha\rho} g_{\sigma\lambda} + A^\lambda_{\alpha\sigma} g_{\lambda\rho} + A^\lambda_{\rho\sigma} g_{\alpha\lambda} – A^\lambda_{\rho\alpha} g_{\lambda\sigma} – A^\lambda_{\sigma\alpha} g_{\rho\lambda}\right) \tag{11} \end{align}
となり、一般相対性理論では次の関係
\begin{align} A^\lambda_{\rho\sigma} = A^\lambda_{\sigma\rho} \tag{12} \end{align}
ここで、接続係数 \(A^\mu_{\rho\sigma}\) は、基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ少し動かしたとき、その基底が \(\boldsymbol e_\mu\) 方向へどれだけ変化するかを表している。
したがって、
\begin{align} A^\mu_{\rho\sigma}{} – A^\mu_{\sigma\rho} \end{align}
は、「基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ動かしたときの変化」と、「基底 \(\boldsymbol e_\sigma\) を \(x^\rho\) 方向へ動かしたときの変化」の差を表している。
もしこの差がゼロでなければ、座標軸を微小に移動させる順序によって基底の変化が異なることになる。これは時空にねじれが存在することを意味し、そのような幾何学では微小な平行四辺形が閉じなくなる。
一方、一般相対性理論では、このようなねじれは存在しないと仮定する。そのため
\begin{align} A^\mu_{\rho\sigma} = A^\mu_{\sigma\rho} \tag{12} \end{align}
が成り立つ。すなわち、基底\(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ動かすか基底\(\boldsymbol e_\sigma\) を \(x^\rho\) 方向へ動かすかによらず、基底の変化は対称となる。
が成り立つと仮定すると、計量テンソルが対称であること\(g_{\alpha\lambda}=g_{\lambda\alpha}\)も用いて
\begin{align}\frac{1}{2}\left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) = A^\lambda_{\rho\sigma} g_{\lambda\alpha} \tag{13} \end{align}
となる。最後に両辺に逆計量 \(g^{\mu\alpha}\) を掛けると
\begin{align} \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho}}{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} \right) = A^\lambda_{\rho\sigma} g_{\lambda\alpha} g^{\mu\alpha} \tag{14} \end{align}
となり、計量と逆計量の積の関係
\begin{align} g_{\lambda\alpha} g^{\mu\alpha} = \delta^\mu{}_\lambda \tag{15} \end{align}
を用いると
\begin{align} A^\mu_{\rho\sigma} & = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \tag{16} \end{align}
となる。式(16)をみると、これはまさにクリストッフェル記号の定義そのものである。したがって、基底の変化は
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol e_\rho}{\partial x^\sigma} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\boldsymbol e_\mu \tag{4} \end{align}
と書くことができ、クリストッフェル記号は基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ少し動かしたときにその基底が \(\boldsymbol e_\mu\) 方向へどれだけ変化するかを表している。
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