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本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で不変でない理由を、電磁波の波動方程式との関係から整理した上で、媒質の速度を明示的に導入したヘルツ方程式を導出する。さらに、ヘルツ方程式がガリレイ変換に対して不変となることを確認しつつ、その成立の前提と限界を検討することで、古典電磁気学とガリレイ相対性原理の整合性に潜む問題点を明らかにする。
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前ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で方程式の形が保存されないことを確認し、古典力学と電磁気学の間に存在する不整合の本質を明らかにした。
内容
電磁波の波動方程式
前ページでマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
がガリレイ変換すると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{6}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
となって不変でないことを見たが、その理由はマクスウェル方程式から導かれる電磁波の波動方程式を調べることで明らかになる。
真空中におけるマクスウェル方程式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
から導かれる電磁波の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{9}\\\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{10}\end{align*}
を見ると、この式は前ページで見たような媒質の静止系の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\tag{11}\end{align*}
と同じ形である。この形の波動方程式は媒質の情報を含まないため、ガリレイ変換の下で不変とはならない。このことから、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で不変でない理由は、電磁波の伝播が特定の媒質に依存しない形で記述されていることに関係していると考えられる。
ヘルツ方程式
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へガリレイ変換すると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{6}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
となるが、もし慣性系\(S\)が媒質の静止系と仮定すると慣性系\(S’\)において
\begin{align*}\boldsymbol v_0’=-\boldsymbol V\tag{12}\end{align*}
が成り立ち、式(5)〜(8)は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{13}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{14}\end{align*}
となって、媒質の情報が含まれた式が得られる。次で見るが、この式はガリレイ変換において不変であり、慣性系\(S\)の座標で表した式を
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)-\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{15}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\epsilon_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{16}\end{align*}
ヘルツ方程式という。
ヘルツ方程式のガリレイ変換
ヘルツ方程式がガリレイ変換の下で不変であることを確かめる。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるヘルツ方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)-\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{15}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\epsilon_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{16}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v_0\)と微分演算子、電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol H\)を
\begin{align*}\boldsymbol v_0&=\boldsymbol v’_0+\boldsymbol V\tag{17}\\\boldsymbol \nabla&=\boldsymbol \nabla’\tag{18}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\tag{19}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{20}\\\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{21}\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)は同じ点での値が同じであることを用いた)、ガリレイ変換後のヘルツ方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{13}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{14}\end{align*}
となってガリレイ変換前のヘルツ方程式の形と等しい。つまり、ヘルツ方程式はガリレイ変換で結ばれたすべての慣性系で同じ形になる。
ヘルツ方程式の問題点
マクスウェル方程式をヘルツ方程式にすることでガリレイ変換の下で不変となったため、古典力学と電磁気学の間の不整合は解決したかのように思える。しかし、ここで2つの問題が生じる。
1つ目は電場と磁場の変換についてである。今回、ヘルツ方程式のガリレイ変換時、電場と磁場は不変
\begin{align*}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{20}\\\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{21}\end{align*}
と仮定した。しかし、次ページで確認するが、ローレンツ力の式はガリレイ変換の下で電場と磁場は次の変換
\begin{align*}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\mu_0\boldsymbol V×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{22}\\\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{21}\end{align*}
を満たさなければならず、ヘルツ方程式のガリレイ変換時にこの変換を行なうと不変とならない。
2つ目は電磁場の媒質の解釈である。ヘルツ方程式には媒質の速度が明示的に含まれているが、電磁波は真空中でも伝播することが知られており、その媒質に対応する実体を特定することができない点が問題となる。このことは、次々ページで確認する。
次ページから…
次ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル
\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}
が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。
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