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本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で不変でない理由を、電磁波の波動方程式との関係から整理した上で、媒質の速度を明示的に導入したヘルツ方程式を導出する。そして、ヘルツ方程式の形はガリレイ変換の下で不変であることを見る。
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前ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で方程式の形が保存されないことを確認し、古典力学と電磁気学の間に存在する不整合の本質を明らかにした。
内容
電磁波の波動方程式
前ページでマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
をガリレイ変換すると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{6}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
となって不変でないことを見たが、その理由はマクスウェル方程式から導かれる電磁波の波動方程式を調べることで明らかになる。
真空中におけるマクスウェル方程式から導かれる電磁波の波動方程式(以前のページを参照)
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{9}\\\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{10}\end{align*}
を見ると、この式は前ページで見たような媒質の静止系の波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\tag{11}\end{align*}
と同じ形である。そして、この形の波動方程式は媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)を含まないため、ガリレイ変換の下で不変とはならなかった。このことから、マクスウェル方程式が媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)を含んでいない、つまりマクスウェル方程式が媒質の静止系における方程式のため、ガリレイ変換の下で不変でないと考えられる。
ヘルツ方程式
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へガリレイ変換すると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{6}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
となるが、もし慣性系\(S\)が媒質の静止系と仮定すると慣性系\(S’\)において
\begin{align*}\boldsymbol v_0’=-\boldsymbol V\tag{12}\end{align*}
が成り立ち、式(5)〜(8)は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{13}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{14}\end{align*}
となって、媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)が含まれた式が得られる。次で見るが、この式はガリレイ変換において不変であり、慣性系\(S\)の座標で表した式を
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)-\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{15}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\epsilon_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{16}\end{align*}
ヘルツ方程式という。
ヘルツ方程式のガリレイ変換
ヘルツ方程式がガリレイ変換の下で不変であることを確かめる。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるヘルツ方程式において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v_0\)と微分演算子、電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol H\)を
\begin{align*}\boldsymbol v_0&=\boldsymbol v’_0+\boldsymbol V\tag{17}\\\boldsymbol \nabla&=\boldsymbol \nabla’\tag{18}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\tag{19}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{20}\\\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{21}\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)は同じ点での値が同じであることを用いた)、ガリレイ変換後のヘルツ方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{5}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{13}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{7}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{14}\end{align*}
となってガリレイ変換前のヘルツ方程式の形と等しい。つまり、ヘルツ方程式はガリレイ変換で結ばれたすべての慣性系で同じ形になる。
マクスウェル方程式やヘルツ方程式が提唱された当初、ガリレイ変換は正しいものと考えられていたため、マクスウェル方程式よりもヘルツ方程式の方が正しく、マクスウェル方程式は媒質の静止系でのみ成り立つ方程式と考えられた。
ヘルツ方程式の問題点
マクスウェル方程式をヘルツ方程式にすることでガリレイ変換の下で不変となったため、古典力学と電磁気学の間の不整合は解決したかのように思える。しかし、ここでヘルツ方程式に従う電磁場の媒質は何かという問いが生じる。ヘルツ方程式には媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)が明示的に含まれているが、電磁波は真空中でも伝播することが知られており、その媒質に対応する実体を特定することができない点が問題となる。このことを、次ページから確認する。
次ページから…
次ページでは、仮想的な電磁波の媒質であるエーテルについて述べる。ガリレイ変換の下で不変なヘルツ方程式には媒質の速度が含まれており、ヘルツ方程式が提唱された当初はガリレイ変換は正しいものと考えられていたため、ヘルツ方程式に従う電磁波にも媒質が存在すると考えられていた。
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