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本ページでは、ベクトルを微分する際にベクトル成分の変化だけでなく基底の変化も考慮した共変微分が
\begin{align} \frac{DV^\mu}{Dx^\sigma} = \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\sigma} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} V^\rho \end{align}
と表され、共変微分を用いて測地線方程式は
\begin{align} \frac{Du^\mu}{D\tau}=0 \end{align}
と表されることを確認する。また、共変微分がゼロとなるように運ぶ平行移動について調べる。
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前ページでは、クリストッフェル記号
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} &={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \\& = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right)\end{align}
が、基底 \(\boldsymbol e_\rho\) を \(x^\sigma\) 方向へ少し動かしたとき、その基底が \(\boldsymbol e_\mu\) 方向へどれだけ変化するかを表している、つまり、座標基底の変化率を表していることを確認する。
内容
共変微分とは
はじめに、ベクトル場
\begin{align} \boldsymbol V = V^\rho \boldsymbol e_\rho \tag{1} \end{align}
を考える。ここで \(V^\rho\) はベクトルの成分、\(\boldsymbol e_\rho\) は座標基底ベクトルである。このベクトル場\(\boldsymbol V\) を \(x^\sigma\) で微分すると
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol V}{\partial x^\sigma}
&=
\frac{\partial}{\partial x^\sigma}
\left(
V^\rho \boldsymbol e_\rho
\right)
\\&= \frac{\partial V^\rho}{\partial x^\sigma} \boldsymbol e_\rho + V^\rho \frac{\partial \boldsymbol e_\rho}{\partial x^\sigma} \tag{2} \end{align}
となり、基底ベクトル\(\boldsymbol e_\sigma\)の微小変化をクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)で展開した次の関係
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol e_\rho} {\partial x^\sigma} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \boldsymbol e_\mu \tag{3} \end{align}
用いると
\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol V}{\partial x^\sigma} &= \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\sigma}\boldsymbol e_\mu + V^\rho\Gamma^\mu_{\rho\sigma} \boldsymbol e_\mu \\ &= \left( \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\sigma} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} V^\rho \right) \boldsymbol e_\mu \tag{4} \end{align}
となる。ここで、第1項はベクトル成分の変化を表し、第2項は基底ベクトルの変化を表している。したがって、一般座標系では、ベクトルの変化を正しく記述するために成分の変化だけでなく基底の変化も考慮しなければならない。そこで、そのような微分を共変微分といい、括弧の中に現れた量
\begin{align} \frac{DV^\mu}{Dx^\sigma} = \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\sigma} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} V^\rho \tag{5} \end{align}
で定義する。
共変微分と測地線方程式
測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{6} \end{align}
は共変微分を用いて
\begin{align} \frac{Du^\mu}{D\tau}=0 \tag{7} \end{align}
と表すことができる。ここで、\(u^\mu\)は4元速度
\begin{align} u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau} \tag{8} \end{align}
である。
これは次のように導くことができる。はじめに測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{6} \end{align}
を4元速度\(u^\mu\)で表すと
\begin{align} \frac{du^\mu}{d\tau} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} u^\rho u^\sigma = 0 \tag{9} \end{align}
となり、連鎖律
\begin{align*}\frac{d}{d\tau}&=\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{\partial }{\partial x^\sigma} \\&=u^\sigma\frac{\partial }{\partial x^\sigma} \tag{10}\end{align*}
を用いると
\begin{align} u^\sigma\left( \frac{\partial u^\mu}{\partial x^\sigma} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} u^\rho\right) = 0 \tag{11} \end{align}
となる。これを、共変微分
\begin{align} \frac{DV^\mu}{Dx^\sigma} = \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\sigma} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} V^\rho \tag{5} \end{align}
を用いて表すと
\begin{align*}u^\sigma\frac{Du^\mu}{Dx^\sigma} = 0\tag{12}\end{align*}
となり、再び連鎖律
\begin{align} \frac{D}{D\tau} &= \frac{dx^\sigma}{d\tau} \frac{D}{Dx^\sigma} \\&= u^\sigma\frac{D}{Dx^\sigma} \tag{13} \end{align}
\(\frac{D}{D\tau}\) は世界線方向の共変微分であり、粒子の世界線 \(x^\mu(\tau)\) に沿った変化を表す。よって、通常の全微分が連鎖律より
\begin{align*} \frac{d}{d\tau}=\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{\partial}{\partial x^\sigma}\end{align*}
と書けることに対応して、世界線方向の共変微分も
\begin{align} \frac{D}{D\tau} &= \frac{dx^\sigma}{d\tau} \frac{D}{Dx^\sigma} \\&= u^\sigma\frac{D}{Dx^\sigma} \end{align}
と書くことができる。
を用いると共変微分で表した測地線方程式
\begin{align} \frac{Du^\mu}{D\tau}=0 \tag{7} \end{align}
が得られる。
共変微分で表した測地線方程式(7)は、4元速度 \(u^\mu\) の共変微分がゼロ、すなわち、4元速度 \(u^\mu\) の成分の変化と座標基底の変化を合わせるとゼロになることを意味する。
平行移動
基底が点ごとに異なるとき、異なる点\(\text P\),\(\text Q\)にあるベクトル\(V^\mu(\text P)\),\(W^\mu(\text Q)\)同士をそのまま比較することはできない。そこで、一方の点\(\text P\)にあるベクトル \(V^\mu(\text P)\) を平行移動によってもう一方の点\(\text Q\)まで運び、その平行移動されたベクトル\(V’^\mu(\text Q)\)を元のベクトル\(V^\mu(\text Q)\)と同じベクトルとみなして、\(W^\mu(\text Q)\)と同じ点にて比較する。ここで、平行移動とはある曲線に沿ってベクトル \(V^\mu\) の共変微分がゼロとなるように運ぶ方法であり、ある曲線が世界線であるとき次の式
\begin{align} \frac{DV^\mu}{D\tau}=0 \tag{14} \end{align}
を満たす。より具体的には、ある曲線(ここでは世界線)に沿ってわずかに \(d\tau\) だけ進むとき、その時空点における座標基底の変化に対して、ベクトル\(V^\mu\)の成分がちょうど打ち消し合うように変化する運び方である。共変微分で表した測地線方程式(7)を見ると、4元速度 \(u^\mu\) の共変微分がゼロとなっていることから、4元速度 \(u^\mu\) は世界線に沿って平行移動されながら運動していることがわかる。
ベクトルとともに平行移動される観測者から見ると、そのベクトルは自ら向きや大きさを変えることなく、常に「まっすぐ」運ばれているように見える。例として、地球の表面を考えてみる。地球の表面に立った人が、体の向きを変えることなく、常に「前だけ」を向いて歩き続けるとする。この人の動きを宇宙から見ると、地球の表面は球面であるため、その経路は直線ではなく、地球の表面に沿った曲線を描いているように見える。しかし、このとき歩いている本人は、自分では一度も進行方向を変えておらず、常にまっすぐ歩いていると感じている。これが平行移動のイメージであり、これは本人が進行方向を曲げたのではなく、歩いている平面が曲がっているためである。
4元加速度
平行移動とは、座標基底の変化を考慮したときに、ベクトルそのものが自ら向きや大きさを変えないように運ぶ操作であった。したがって、4元速度 \(u^\mu\) が世界線に沿って平行移動されるということは、4元速度 \(u^\mu\) が自ら向きや大きさを変えているのではなく、座標基底の変化に合わせて自然に運ばれていることを意味する。そのため、粒子自身は進行方向を変えるような加速度を受けていない。
一般相対性理論では、このような自由粒子の運動を「時空そのものが曲がっており、その曲がった時空の中を最も自然な経路（世界線または測地線）に沿って真っ直ぐ進んでいる」と解釈する。この「粒子自身が感じる加速度」を4元加速度と呼び、4元速度の共変微分によって
\begin{align*}a^\mu \equiv \frac{Du^\mu}{D\tau} \end{align*}
と定義される。したがって、測地線方程式を満たす粒子では
\begin{align*} a^\mu=\frac{Du^\mu}{D\tau}=0 \end{align*}
となり、4元加速度はゼロである。つまり、自由粒子は座標系によっては加速して見えることがあっても、粒子自身は加速を感じておらず、慣性運動を続けていることになる。
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