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本ページでは、座標系の選び方によらず自由粒子の運動を記述する方程式の測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \end{align}
を導き、クリストッフェル記号の定義
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} ={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \end{align}
または
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \end{align}
を確認する。
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次ページでは、「重力は適切な局所慣性系を選ぶことで局所的に消去できる」という一般相対性理論の出発点となる基本原理の等価原理について説明した。
内容
測地線方程式とは
測地線方程式とは、座標系の選び方によらず自由粒子の運動を記述する方程式である。特殊相対性理論では、慣性系 \(X^\mu\) において自由粒子は4次元時空の直線に沿って運動し、運動方程式
\begin{align} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2}=0 \tag{1} \end{align}
を満たす。一方、一般相対性理論では、等価原理により自由落下系では任意の時空点において局所慣性系\(X^\mu\)を取ることができるため、自由落下する粒子の運動も局所的には式(1)を満たし、特殊相対性理論における慣性系\(X^\mu\)の自由運動と区別できない。しかし、この式(1)は一般の座標系 \(x^\mu\) ではそのまま成り立たない。そこで、加速度系や曲がった時空を含む任意の座標系\(x^\mu\) においても同じ物理法則を記述できるよう、自由粒子の運動を座標変換に対して不変な形で表したものが測地線方程式である。
測地線方程式の具体的な形はクリストッフェル記号
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} ={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \tag{2} \end{align}
または
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \tag{3} \end{align}
を用いて
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{4} \end{align}
と表される。
測地線方程式の導出
ここで、測地線方程式を導出してみる。加速度系や曲線座標を含む一般の座標系\(x^\mu\)は慣性座標\(X^\mu\)を用いて次のように表すことができる。
\begin{align} x^\mu=x^\mu(X) \tag{5} \end{align}
そのため、一般の座標系における粒子の座標\(x^\mu\)を固有時 \(\tau\) で微分すると、連鎖律によって
\begin{align} \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha} \frac{dX^\alpha}{d\tau} \tag{6} \end{align}
となり、さらにもう一度 \(\tau\) で微分すると
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} &= \frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha} \frac{dX^\alpha}{d\tau} \right)\\&=\left(\frac{d}{d\tau} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha}\right) \frac{dX^\alpha}{d\tau} + \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2} \\&=\frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{dX^\beta}{d\tau} \frac{dX^\alpha}{d\tau} + \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2} \tag{7} \end{align}
2行目への変形では積の微分公式を用い、3行目への変形では次の連鎖律
\begin{align} \left(\frac{d}{d\tau} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha}\right) &=\frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{dX^\beta}{d\tau}\end{align}
を用いた。この式は先ほど用いた連鎖律
\begin{align} \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{dX^\beta}{d\tau} \tag{3} \end{align}
と同じ形であり、\(x^\mu\)を\(\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\alpha}\)に置き換えた形である。
となる。ここで、特殊相対性理論での慣性系や一般相対性理論での局所慣性系\(X^\mu\)における自由粒子では
\begin{align} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2}=0 \tag{1} \end{align}
が成り立ち、式(7)の第2項は消えるため、次の関係式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{dX^\beta}{d\tau} \frac{dX^\alpha}{d\tau} \tag{8} \end{align}
が成り立つ。次に、慣性系または局所慣性系における粒子の座標\(X^\mu\)を固有時 \(\tau\) で微分すると、連鎖律によって
\begin{align} \frac{dX^\alpha}{d\tau} = \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\nu} \frac{dx^\nu}{d\tau} \tag{9} \end{align}
が導かれ、これを式(8)へ代入すると
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} \tag{10} \end{align}
となり、クリストッフェル記号と呼ばれる次の記号
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \tag{2} \end{align}
を導入すると式(10)は
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{4} \end{align}
となる。これが測地線方程式である。
つまり、慣性系または局所慣性系\(X^\mu\)における運動方程式
\begin{align} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2}=0\tag{1} \end{align}
は、加速度系や曲線座標\(x^\mu\)で記述すると
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{4}\end{align}
という形になる。次ページで確認するが、ここに現れるクリストッフェル記号\( \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)は、座標基底の変化率を表しており、非慣性系で見かけ上現れる慣性力の起源となる。
計量を用いたクリストッフェル記号
先ほど定義したクリストッフェル記号\( \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \)
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} ={} – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\alpha} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^\sigma} \tag{2} \end{align}
は慣性座標 \(X^\mu\) を用いていたが、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)を用いて
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \tag{3} \end{align}
と表すこともできる。この形のクリストッフェル記号\( \Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)を求めてみる。
まず、一般座標における計量テンソル\(g_{\rho\sigma} \)はミンコフスキー計量 \(\eta_{\alpha\beta}\) を用いて
\begin{align} g_{\rho\sigma} = \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \tag{11} \end{align}
式(11)は次のように求めることができる。
まず、慣性座標 \(X^\mu\) においてミンコフスキー計量 \(\eta_{\beta\gamma}\) を用いて世界距離を
\begin{align} ds^2 = \eta_{\beta\gamma} \,dX^\beta dX^\gamma \tag{A} \end{align}
と表し、一般座標 \(x^\mu\) において計量\(g_{\rho\sigma} \)を用いて世界距離を
\begin{align} ds^2 = g_{\rho\sigma} \,dx^\rho dx^\sigma \tag{B} \end{align}
と表す。ここで、世界距離 \(ds^2\) は座標系によらない物理量であるため、式(A)と式(B)は等しい。
次に、慣性座標 \(X^\mu\) が一般座標 \(x^\mu\) の関数として表されることを考えると、次の座標変換
\begin{align} X^\beta=X^\beta(x^\mu) \end{align}
が成り立ち、全微分の公式から
\begin{align} dX^\beta = \frac{\partial X^\beta} {\partial x^\mu} dx^\mu \tag{C} \end{align}
が導かれ、これを式(A)へ代入すると
\begin{align} ds^2 &= \eta_{\beta\gamma} \left( \frac{\partial X^\beta} {\partial x^\rho} dx^\rho \right) \left( \frac{\partial X^\gamma} {\partial x^\sigma} dx^\sigma \right) \\ &= \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} dx^\rho dx^\sigma \tag{D} \end{align}
となる。そして式(D)と式(B)の\(dx^\rho dx^\sigma\) の係数を比較すると計量テンソルの座標変換則
\begin{align} g_{\rho\sigma} = \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \tag{11} \end{align}
が得られる。
と書けるため、この式を \(x^\rho\)で微分すると
\begin{align} \frac{\partial g_{\rho\sigma} }{\partial x^\alpha} &=\eta_{\beta\gamma} \left(\frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\alpha\partial x^\rho} + \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\alpha\partial x^\sigma} \right) \tag{12} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial g_{\rho\sigma} }{\partial x^\alpha} &= \frac{\partial }{\partial x^\alpha} \left(\eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \right)\\&=\eta_{\beta\gamma} \left( \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\alpha\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2X^\gamma} {\partial x^\alpha\partial x^\sigma} \right)\\&=\eta_{\beta\gamma} \left( \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\alpha\partial x^\rho} + \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\alpha\partial x^\sigma} \right) \end{align}
3行目への変形では、ミンコフスキー計量 \(\eta_{\beta\gamma}\) が対称テンソルであること
\begin{align*}\eta_{\beta\gamma}=\eta_{\gamma\beta}\end{align*}
を用いて、第2項に現れる添え字 \(\beta\) と \(\gamma\) を入れ替えても値が変わらないことを用いた。
となる。次に、添え字\(\rho\),\(\sigma\),\(\alpha\)を入れ替えて次の2式
\begin{align} \frac{\partial g_{\sigma\alpha} }{\partial x^\rho} &= \eta_{\beta\gamma} \left( \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\alpha} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} + \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\alpha} \right) \tag{13} \\ \frac{\partial g_{\alpha\rho}}{\partial x^\sigma} &= \eta_{\beta\gamma} \left( \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\sigma\partial x^\alpha}+ \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\alpha} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\sigma\partial x^\rho} \right) \tag{14}\end{align}
を準備し、次の組み合わせ
\begin{align*}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} {}- \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right)\tag{15}\end{align*}
を考えると、
\begin{align} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} {}- \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} \right)= \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\alpha} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \tag{16} \end{align}
ここで、偏微分の順序交換
\begin{align}
\frac{\partial^2X^\beta}
{\partial x^\rho\partial x^\sigma}
=
\frac{\partial^2X^\beta}
{\partial x^\sigma\partial x^\rho}
\end{align}
を用いた。
となる。そして、逆計量
\begin{align} g^{\mu\alpha} = \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \tag{17} \end{align}
逆計量 \(g^{\mu\alpha}\) の式が
\begin{align} g^{\mu\alpha} = \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \tag{17} \end{align}
となることを確認する。
ここで、逆計量\(g^{\mu\alpha}\) は計量テンソル \(g_{\alpha\nu}\)
\begin{align*}g_{\alpha\nu}=\left( \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \right)\tag{11}\end{align*}
の逆行列として定義されるため、
\begin{align} g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu{}_\nu \tag{A} \end{align}
を満たさなければならない。そこで、逆計量が
\begin{align} g^{\mu\alpha} = \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \tag{17} \end{align}
と表されると仮定し、計量\(g_{\alpha\nu} \)と逆計量\(g^{\mu\alpha}\)との積を考えると
\begin{align} g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} &= \left( \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \right) \left( \eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \right) \\ &= \eta^{\kappa\epsilon}\eta_{\beta\gamma} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \tag{B} \end{align}
となる。ここで、ヤコビアンと逆ヤコビアンの関係
\begin{align} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha} = \delta^\beta{}_\epsilon \tag{C} \end{align}
と、ミンコフスキー計量と逆計量の関係式
\begin{align} \eta^{\kappa\epsilon}\eta_{\epsilon\gamma}= \delta^\kappa{}_\gamma \tag{D} \end{align}
を用いると、
\begin{align} g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} &= \eta^{\kappa\epsilon}\eta_{\beta\gamma}\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \delta^\beta{}_\epsilon \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu}\\ &= \eta^{\kappa\epsilon}\eta_{\epsilon\gamma} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \\ &= \delta^\kappa{}_\gamma \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \\ &= \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\gamma} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\nu} \\ &= \delta^\mu{}_\nu \tag{E} \end{align}
となり、確かに式(A)を満たすことが分かる。したがって、逆計量は
\begin{align} g^{\mu\alpha} = \eta^{\delta\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\delta} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \tag{17} \end{align}
と表される。
を式(16)へ掛けると
\begin{align} \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} {}- \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} \right) =\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \tag{18} \end{align}
\begin{align} \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} {}- \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} \right) &= \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon}\eta_{\beta\gamma} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\alpha} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \\&= \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \eta_{\beta\gamma} \delta^\gamma{}_\epsilon\frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \\&= \eta^{\kappa\epsilon} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \eta_{\beta\epsilon} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \\&= \delta^\kappa{}_\beta\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\kappa} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \\&=\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} \end{align}
2行目への変形ではヤコビアンと逆ヤコビアンの関係
\begin{align} \frac{\partial x^\alpha}{\partial X^\epsilon} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\alpha} = \delta^\gamma{}_\epsilon \end{align}
を用い、4行目への変形では計量と逆計量の関係式
\begin{align} \eta^{\kappa\epsilon}\eta_{\beta\epsilon} = \delta^\kappa{}_\beta \end{align}
を用いた。
となる。最後に次の関係式
\begin{align} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} = {}- \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \tag{19} \end{align}
式(19)は次のように導出することができる。
ヤコビアンと逆ヤコビアンの積
\begin{align} \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} = \delta^\mu{}_\rho \end{align}
を\(x^\sigma\)で微分し式変形すると
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x^\sigma}
\left(
\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta}
\frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho}
\right)
&=
\frac{\partial}{\partial x^\sigma}
\delta^\mu{}_\rho
=
0
\\\rightarrow
\frac{\partial}
{\partial x^\sigma}
\left(
\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta}
\right)
\frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho}
+
\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta}
\frac{\partial}
{\partial x^\sigma}
\left(
\frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho}
\right)
&=
0
\\\rightarrow\frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} &= 0 \\\rightarrow\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\beta} \frac{\partial^2X^\beta} {\partial x^\rho\partial x^\sigma} = – \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \end{align}
となる。3行目への変形では次の連鎖律
\begin{align} \frac{\partial} {\partial x^\sigma} = \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \frac{\partial} {\partial X^\gamma} \tag{13} \end{align}
を用いた。
を用いると
\begin{align} \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma} {}- \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha} \right) ={}- \frac{\partial^2x^\mu} {\partial X^\beta\partial X^\gamma} \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial X^\gamma}{\partial x^\sigma} \tag{20} \end{align}
となり、式(2)と比較すると式(20)の右辺はまさにクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)に等しい。つまり、計量テンソル\(g_{\rho\sigma} \)を用いてクリストッフェル記号を表すと
\begin{align} \Gamma^\mu_{\rho\sigma} = \frac12 g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\rho} + \frac{\partial g_{\alpha\rho} }{\partial x^\sigma}{} – \frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x^\alpha}\right) \tag{3} \end{align}
となることがわかる。
測地線方程式と等価原理
等価原理によれば、重力は適切な局所慣性系\(x^\mu\)を選ぶことで局所的に消去できた。これは、一般座標系\(x^\mu\)における測地線方程式
\begin{align} \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{4} \end{align}
において、局所慣性系\(X^\mu\)を選ぶと特殊相対論における慣性系\(X^\mu\)の運動方程式と同じ形
\begin{align} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2}=0\tag{1} \end{align}
になることを意味する。
一般に測地線方程式はクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)を用いて表されるが、ある一点において局所慣性系\(X^\mu\)を選ぶと、その点ではクリストッフェル記号\(\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\)をゼロにすることができる。その結果、その点での粒子の運動方程式
\begin{align} \frac{d^2X^\alpha}{d\tau^2}=0\tag{1} \end{align}
は特殊相対論における自由粒子の運動方程式と一致する。
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