【やさしい相対性理論】ローレンツ変換の導出

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本ページでは、局所時間とローレンツ収縮からローレンツ変換を導き、ローレンツ変換で速度や加速度、さらには微分演算子がどのように変換されるかを確認する。

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前ページでは、局所時間を考慮してもマイケルソン-モーリーの実験結果を説明できないことを確認し、エーテル中を運動する物体が運動方向に縮むローレンツ収縮を導入する必要があることをみた。

内容

ローレンツ変換

エーテル静止系\(S(t,x,y,z)\)から\(x\)軸方向に速度\(v\)で動く慣性系\(S'(t’,x’,y’,z’)\)への変換を考える。前ページでみたように、慣性系\(S’\)における物体の長さ\(L’\)は、ローレンツ収縮によってエーテル静止系における物体の長さ\(L\)の\(1/\gamma\)倍

\begin{align*}L’&=\frac{1}{\gamma} L\tag{1}\\\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align*}

となった。本ページでは、ガリレイ変換を局所時間で補正した変換

\begin{align*}x’&=x-vt\\y’&=y\\z’&=z\\t’&=t-\frac{v}{c^2}x\end{align*}

にローレンツ収縮を適用してみる。

ここで、電磁波の波動方程式(以前のページを参照)

\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol E&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol E\\\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol H&=\boldsymbol \nabla^2\boldsymbol H\tag{2}\end{align*}

を思い出すと、時間と空間座標は対等な形で現れている。したがって、ローレンツ収縮によって空間座標の変換に係数\(\alpha\)が現れるならば、時間についても同様の補正を導入しなければ方程式の形は保たれず、ガリレイ変換を局所時間で補正した変換にローレンツ収縮を適用すると次のような変換

\begin{align*}x’&=\alpha(x-vt)\\y’&=y\\z’&=z\\t’&=\alpha\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\end{align*}

になると予想される。

　エーテル静止系\(S\)で長さ\(L\)の棒が静止しているとするとき、慣性系\(S’\)でこの棒の長さ\(L’\)を測るためには、慣性系\(S’\)において同時刻に棒の両端を測定しなければならない。そこで、慣性系\(S’\)において棒の左端および右端を測定する出来事の座標をそれぞれ\((t’_1,x’_1)\),\((t’_2,x’_2)\)とする。また、これらに対応するエーテル静止系\(S\)での座標をそれぞれ\((t_1,x_1)\)、\((t_2,x_2)\)とする。このとき、慣性系\(S’\)で測った棒の長さ\(L’\)は

\begin{align*} L’=x’_2-x’_1 \tag{3}\end{align*}

となり、\(x\)軸方向での変換

\begin{align*} x’&=\alpha(x-vt) \end{align*}

を用いると、

\begin{align*} L’ &=x’_2-x’_1\\ &=\alpha(x_2-vt_2)-\alpha(x_1-vt_1)\\ &=\alpha[(x_2-x_1)-v(t_2-t_1)] \tag{4}\end{align*}

となる。また、慣性系\(S’\)では同時刻で測定しているので

\begin{align*} t’_1=t’_2 \end{align*}

が成り立ち、時間に関する変換

\begin{align*} t’=\alpha\left(t-\frac{vx}{c^2}\right) \end{align*}

より、

\begin{align*}\alpha\left(t_1-\frac{vx_1}{c^2}\right) &=\alpha\left(t_2-\frac{vx_2}{c^2}\right)\\\rightarrow t_1-\frac{vx_1}{c^2}&=t_2-\frac{vx_2}{c^2}\\\rightarrow t_2-t_1 &= \frac{v}{c^2}(x_2-x_1)\tag{5} \end{align*}

を得る。そして、これを長さ\(L’\)の式(4)へ代入すると、

\begin{align*} L’ &=\alpha[(x_2-x_1)-v(t_2-t_1)]\\ &=\alpha\left[(x_2-x_1)-\frac{v^2}{c^2}(x_2-x_1)\right]\\ &=\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)(x_2-x_1) \tag{6}\end{align*}

となる。ここで、エーテル静止系\(S\)における時刻\(t_1\)と時刻\(t_2\)は一般には同時刻ではないが、測定対象の棒はエーテル静止系\(S\)で静止しているため、エーテル静止系\(S\)における棒の両端の座標は変化せず、同時刻ではないが時刻\(t_1\),\(t_2\)における座標\(x_1\),\(x_2\)を用いて棒の長さ\(L\)は

\begin{align*} L=x_2-x_1 \end{align*}

と表すことができる。よって、長さ\(L’\)の式(6)は

\begin{align*} L’ &=\alpha\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)L\\ &=\alpha\frac{1}{\gamma^2}L \tag{7}\end{align*}

となり、最後にローレンツ収縮の関係式

\begin{align*}L’&=\frac{1}{\gamma} L\tag{1}\end{align*}

と見比べると

\begin{align*}\alpha=\gamma\end{align*}

であることがわかり、次の変換

\begin{align*}x’&=\gamma(x-vt)\\y’&=y\\z’&=z\\t’&=\gamma\left(t-\frac{v}{ c^2}x\right)\\\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{align*}

がガリレイ変換に局所時間とローレンツ収縮を適用した変換である。この変換をローレンツ変換という。

実際に、ローレンツ変換の下では、マクスウェル方程式や電磁波の波動方程式の形は不変となる。このことは次ページ以降で確認する。

ローレンツ変換の極限

慣性系\(S\)から慣性系\(S’\)へのローレンツ変換

\begin{align*}x’&=\gamma(x-vt)\\y’&=y\\z’&=z\\t’&=\gamma\left(t-\frac{v}{ c^2}x\right)\\\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{align*}

において、慣性系\(S\)に対する慣性系\(S’\)の相対速度\(v\)が光速度\(c\)と比べて十分小さい時、

\begin{align*}x’&\simeq x-vt\\y’&=y\\z’&=z\\t’&\simeq t\end{align*}

となる。これは、まさにガリレイ変換であり、ローレンツ変換は低速極限においてガリレイ変換に帰着することがわかる。

速度のローレンツ変換

慣性系\(S’\)における座標の微小変化は

\begin{align*}dx’&=\gamma(dx-vdt)\\dy’&=dy\\dz’&=dz\\dt’&=\gamma\left(dt-\frac{v}{ c^2}dx\right)\end{align*}

であるため、速度のローレンツ変換は

\begin{align}v’_x &= \frac{v_x – v}{1 – \frac{v v_x}{c^2}}\\v’_y &= \frac{v_y}{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)}\\v’_z &=
\frac{v_z}{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)}\end{align}

途中式

\begin{align}v’_x &= \frac{dx’}{dt’} \\&= \frac{\gamma(dx – vdt)}{\gamma\left(dt – \frac{vdx}{c^2}\right)} \\&= \frac{dx – vdt}{dt – \frac{vdx}{c^2}} \\&= \frac{\frac{dx}{dt} – v}{1 – \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}} \\&= \frac{v_x – v}{1 – \frac{v v_x}{c^2}}\\v’_y &= \frac{dy’}{dt’} \\
&= \frac{dy}{\gamma\left(dt – \frac{vdx}{c^2}\right)} \\
&= \frac{\frac{dy}{dt}}{\gamma\left(1 – \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}\right)} \\
&= \frac{v_y}{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)}\\v’_z &= \frac{dz’}{dt’} \\
&= \frac{dz}{\gamma\left(dt – \frac{vdx}{c^2}\right)} \\
&= \frac{\frac{dz}{dt}}{\gamma\left(1 – \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}\right)} \\
&= \frac{v_z}{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)}\end{align}

となって、ローレンツ変換において速度合成則は単純な足し算で表せないことがわかる。

速度のローレンツ変換において、低速極限\(v,v_x\ll c\)では速度のガリレイ変換(以前のページを参照)

\begin{align*}v_x’&=v_x-v\\v_y’&=v_y\\v_z’&=v_z\end{align*}

に帰着することがわかるが、他にも興味深い点が幾つかある。1つ目は、\(v_x\)が光速度\(c\)のとき\(v’_x\)も光速度\(c\)となる、つまり、どの慣性系においても光速度は\(c\)となることがわかる。2つ目は、速度\(v’_y\),\(v’_z\)に速度\(v_x\)が含まれており、速度の横成分は縦成分の影響も受けることがわかる。3つ目は、\(\vert v\vert,\vert v_x\vert<c\)のとき、次の関係式

\begin{align*}\vert v’_x\vert< c\end{align*}

証明

\begin{align*}\vert v’_x\vert&< c\\\rightarrow v’_x{}^2&< c^2\\\rightarrow \left(\frac{v_x – v}{1 – \frac{v v_x}{c^2}}\right)^2&< c^2\\\rightarrow (v_x-v)^2&<c^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2\\\rightarrow v_x{}^2-2v_xv+v^2&<c^2-2v_xv+\frac{v^2v_x{^2}}{c^2}\\\rightarrow0&<(c^2-v_x{}^2)+\left(\frac{v^2v_x{}^2}{c^2}-v^2\right)\\\rightarrow0&<(c^2-v_x{}^2)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\end{align*}

前提とした\(\vert v\vert,\vert v_x\vert<c\)が成り立つとき、最後の不等号が成り立つため、上記の関係式が成り立つことがわかる。

が成り立ち、\(v’_x\)をどれだけ大きくしようとしても上限が光速度\(c\)となることがわかる。

加速度のローレンツ変換

加速度のローレンツ変換は

\begin{align}
a’_x
&= \frac{a_x}{\gamma^3\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\\a’_y
&= \frac{a_y\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_y a_x}
{\gamma^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\\a’_z
&= \frac{a_z\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_z a_x}
{\gamma^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\end{align}

途中式

ローレンツ変換された速度

を時間微分すると

\begin{align}
\frac{dv’_x}{dt}
&= \frac{a_x\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) – (v_x – v)\left(-\frac{v}{c^2}a_x\right)}
{\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2} \\
&= \frac{a_x\left[\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}(v_x – v)\right]}
{\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2} \\
&= \frac{a_x\left(1 – \frac{v^2}{c^2}\right)}
{\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2}\\&
= \frac{a_x}{\gamma^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2}\\
\frac{dv’_y}{dt}
&= \frac{a_y\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) – v_y\left(-\frac{v}{c^2}a_x\right)}
{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2} \\
&= \frac{a_y\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_y a_x}
{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2}
\\
\frac{dv’_z}{dt}
&= \frac{a_z\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) – v_z\left(-\frac{v}{c^2}a_x\right)}
{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2} \\
&= \frac{a_z\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_z a_x}{\gamma\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^2}\end{align}

となり、次の関係式

\begin{align}
\frac{dt’}{dt}
= \gamma\left(1-\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}\right)
= \gamma\left(1-\frac{v v_x}{c^2}\right)
\end{align}

が成り立つため、ローレンツ変換後の加速度は

\begin{align}
a’_x
&= \frac{\frac{dv’_x}{dt}}{\frac{dt’}{dt}} \\
&= \frac{a_x}{\gamma^3\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\\a’_y&= \frac{\frac{dv’_y}{dt}}{\frac{dt’}{dt}} \\
&= \frac{a_y\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_y a_x}
{\gamma^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\\a’_z&= \frac{\frac{dv’_z}{dt}}{\frac{dt’}{dt}} \\
&= \frac{a_z\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right) + \frac{v}{c^2}v_z a_x}
{\gamma^2\left(1 – \frac{v v_x}{c^2}\right)^3}
\end{align}

となる。

となって、ローレンツ変換において加速度は不変でないことがわかる。

これらの式にも興味深い点が幾つかある。1つ目は、速度のように、加速度\(a’_y\),\(a’_z\)に加速度\(a_x\)が含まれており、加速度の横成分は縦成分の影響も受けることがわかる。2つ目は、加速度の横成分\(a’_y\),\(a’_z\)の分母には\(\gamma^2\)が現れるが、加速度の縦成分\(a_x\)の分母には\(\gamma^3\)が現れ、方向によって減衰度合いが変わることがわかる。

微分演算子のローレンツ変換

　連鎖律を用いると微分演算子のローレンツ変換は

\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x’}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x} +\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\right)\\\frac{\partial}{\partial y’}&=\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z’}&=\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{\partial}{\partial t’}&=\gamma \left(\frac{\partial}{\partial t}+v\frac{\partial}{\partial x} \right)\end{align*}

途中式

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x’} &=\frac{\partial x}{\partial x’}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial x’}\frac{\partial}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial x’}\frac{\partial}{\partial z} +\frac{\partial t}{\partial x’}\frac{\partial}{\partial t}\\ &=\gamma\frac{\partial}{\partial x} +\gamma\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\\[1ex] \frac{\partial}{\partial y’} &=\frac{\partial x}{\partial y’}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y’}\frac{\partial}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial y’}\frac{\partial}{\partial z} +\frac{\partial t}{\partial y’}\frac{\partial}{\partial t}\\ &=\frac{\partial}{\partial y}\\[1ex] \frac{\partial}{\partial z’} &=\frac{\partial x}{\partial z’}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial z’}\frac{\partial}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z’}\frac{\partial}{\partial z} +\frac{\partial t}{\partial z’}\frac{\partial}{\partial t}\\ &=\frac{\partial}{\partial z}\\[1ex] \frac{\partial}{\partial t’} &=\frac{\partial x}{\partial t’}\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial t’}\frac{\partial}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial t’}\frac{\partial}{\partial z} +\frac{\partial t}{\partial t’}\frac{\partial}{\partial t}\\ &=\gamma v\frac{\partial}{\partial x} +\gamma\frac{\partial}{\partial t} \end{align*}

または

\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x’} -\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\right)\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y’}\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z’}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\gamma \left(\frac{\partial}{\partial t’}-v\frac{\partial}{\partial x’} \right)\end{align*}

途中式

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} &=\frac{\partial x’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t’}\\ &=\gamma\frac{\partial}{\partial x’} -\gamma\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\\ \frac{\partial}{\partial y} &=\frac{\partial x’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial t’}\\ &=\frac{\partial}{\partial y’}\\ \frac{\partial}{\partial z} &=\frac{\partial x’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial t’}\\ &=\frac{\partial}{\partial z’}\\ \frac{\partial}{\partial t} &=\frac{\partial x’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t’}\\ &=-\gamma v\frac{\partial}{\partial x’} +\gamma\frac{\partial}{\partial t’} \end{align*}

となる。

これまでのまとめ

　ガリレイ変換の下でニュートンの運動方程式と波動方程式は形が不変であったが、マクスウェル方程式は不変でなかった。そこで、マクスウェル方程式に電磁波の媒質(エーテル)の速度情報を加えることによりヘルツ方程式が導かれたが、マイケルソン-モーリーの実験でエーテルの風を検出することができなかった。そこで、ローレンツらは、ヘルツ方程式ではなくマクスウェル方程式の方が正しいと考え、エーテルの存在を前提としつつ、マクスウェル方程式が変換の下で形を保つようにするため、慣性系によって時間の定義が異なるという局所時間と、エーテル中を運動する物体が運動方向に縮むというローレンツ収縮を仮定した。そして、これらの考えからローレンツ変換が導かれた。

　このローレンツ変換の問題点は、エーテルの存在を前提としているにもかかわらず、そのエーテルを実験によって検出できない理論となっていることである。そこでアインシュタインは、「検出できないものを仮定する必要はない」と考え、エーテルの存在そのものを放棄した。そして、マイケルソン-モーリーの実験結果を踏まえ、「光速度はすべての慣性系で一定であること」と、「物理法則はすべての慣性系で同一の形で成り立つこと」を基本原理として採用した。これがアインシュタインの特殊相対性原理の出発点である。

次ページから…

次ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル

\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}

が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。

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