HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞電磁波の波動方程式のローレンツ変換
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、電磁波の波動方程式の形がローレンツ変換の下で不変であることを見る。
前ページまで⋯
前ページでは、マクスウェル方程式の形がローレンツ変換の下で不変であることを見た。
内容
電磁波の波動方程式のローレンツ変換
本ページでは、電磁波の波動方程式の形はローレンツ変換
\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x’}-\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\right)\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y’}\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z’}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial t’}-v\frac{\partial}{\partial x’}\right)
\end{align}
および、前ページで見た電場·磁場の変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=\gamma(E’_y+v\mu_0H’_z)\\E_z&=\gamma(E’_z-v\mu_0H’_y)\\H_x&=H’_x\\H_y&=\gamma(H’_y-v\varepsilon_0E’_z)\\H_z&=\gamma(H’_z+v\varepsilon_0 E’_y)\end{align*}
の下で不変であることを見る。
成分ごとに表した電磁場の方程式
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)E_x&=0\tag{A}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)E_y&=0\tag{B}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)E_z&=0\tag{C}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)H_x&=0\tag{D}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)H_y&=0\tag{E}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\boldsymbol \nabla^2\right)H_z&=0\tag{F}\end{align*}
に、ローレンツ変換
\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial x’}-\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\right)\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y’}\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z’}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\gamma\left(\frac{\partial}{\partial t’}-v\frac{\partial}{\partial x’}\right)
\end{align}
と前ページで見た電場·磁場の変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=\gamma(E’_y+v\mu_0H’_z)\\E_z&=\gamma(E’_z-v\mu_0H’_y)\\H_x&=H’_x\\H_y&=\gamma(H’_y-v\varepsilon_0E’_z)\\H_z&=\gamma(H’_z+v\varepsilon_0 E’_y)\end{align*}
を行なうと、
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_x&=0\tag{$\bar{\text A}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma(E’_y+v\mu_0H’_z)&=0\tag{$\bar{\text B}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma(E’_z-v\mu_0H’_y)&=0\tag{$\bar{\text C}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_x&=0\tag{$\bar{\text D}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma(H’_y-v\varepsilon_0E’_z)&=0\tag{$\bar{\text E}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma(H’_z+v\varepsilon_0 E’_y)&=0\tag{$\bar{\text F}$}\end{align*}
それぞれの微分演算子の2乗は
\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \gamma^2 \left( \frac{\partial}{\partial x’} -\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’} \right) \left( \frac{\partial}{\partial x’} -\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’} \right) \\ &= \gamma^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x’^2} -\frac{2v}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial x’\partial t’} +\frac{v^2}{c^4} \frac{\partial^2}{\partial t’^2} \right) \\\frac{\partial^2}{\partial y^2} &=\frac{\partial^2}{\partial y’^2} \\\frac{\partial^2}{\partial z^2} &=\frac{\partial^2}{\partial z’^2}\\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} &= \gamma^2 \left( \frac{\partial}{\partial t’} -v\frac{\partial}{\partial x’} \right) \left( \frac{\partial}{\partial t’} -v\frac{\partial}{\partial x’} \right) \\ &= \gamma^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial t’^2} -2v \frac{\partial^2}{\partial t’\partial x’} +v^2 \frac{\partial^2}{\partial x’^2} \right) \end{align*}
と計算することができるため、左辺に現れる微分演算子は
\begin{align*}
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol\nabla^2&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}\\
&=
\frac{\gamma^2}{c^2}
\left(
\frac{\partial^2}{\partial t’^2}
-2v
\frac{\partial^2}{\partial t’\partial x’}
+v^2
\frac{\partial^2}{\partial x’^2}
\right)-\gamma^2
\left(
\frac{\partial^2}{\partial x’^2}
-\frac{2v}{c^2}
\frac{\partial^2}{\partial x’\partial t’}
+\frac{v^2}{c^4}
\frac{\partial^2}{\partial t’^2}
\right)-\frac{\partial^2}{\partial y’^2}-\frac{\partial^2}{\partial z’^2}
\\
&=
\gamma^2
\left(
\frac{1}{c^2}
-\frac{v^2}{c^4}
\right)
\frac{\partial^2}{\partial t’^2}
+
\gamma^2
\left(
\frac{v^2}{c^2}
-1
\right)
\frac{\partial^2}{\partial x’^2}-\frac{\partial^2}{\partial y’^2}-\frac{\partial^2}{\partial z’^2}\\&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t’^2}-\frac{\partial^2}{\partial x’^2}-\frac{\partial^2}{\partial y’^2}-\frac{\partial^2}{\partial z’^2}\\&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t’^2}-\boldsymbol\nabla’^2
\end{align*}
となる。
となる。次に、\(-v\mu_0\)を掛けた式(\(\bar {\text F})\)を式(\(\bar {\text B})\)に足して、\(v\mu_0\)を掛けた式(\(\bar {\text E})\)を式(\(\bar {\text C})\)に足して、\(v\varepsilon_0\)を掛けた式(\(\bar {\text C})\)を式(\(\bar {\text E})\)に足して、\(-v\varepsilon_0\)を掛けた式(\(\bar {\text F})\)を式(\(\bar {\text B})\)に足すと
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_x&=0\tag{$\bar{\text A}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_y&=0\tag{$\bar{\text B}’$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_z&=0\tag{$\bar{\text C}’$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_x&=0\tag{$\bar{\text D}$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_y&=0\tag{$\bar{\text E}’$}\\\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_z&=0\tag{$\bar{\text F}’$}\end{align*}
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)E’_y&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\frac{1}{\gamma}E’_y&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_y&=0\tag{$\bar{\text B}’$}\end{align*}
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)E’_z&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\frac{1}{\gamma}E’_z&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)E’_z&=0\tag{$\bar{\text C}’$}\end{align*}
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)H’_y&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\frac{1}{\gamma} H’_y&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_y&=0\tag{$\bar{\text E}’$}\end{align*}
\begin{align*}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\gamma\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)H’_z&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)\frac{1}{\gamma}H’_z&=0\\\rightarrow\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t’^2}-\boldsymbol \nabla’^2\right)H’_z&=0\tag{$\bar{\text F}’$}\end{align*}
となって、電磁波の波動方程式の形が不変となることがわかる。
電場·磁場の変換について
電磁波の波動方程式に現れる微分演算子 \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2\) はローレンツ変換の下で不変である。そのため、電場・磁場がローレンツ変換によって変化しないと仮定しても、電磁波の波動方程式の形は保たれる。しかし、前ページで見たように、マクスウェル方程式の形をローレンツ変換の下で不変に保つためには、電場・磁場も適切に変換されなければならない。では、電磁波の波動方程式はマクスウェル方程式から導かれたにもかかわらず、なぜ電場・磁場の変換則が現れないのだろうか。実は、波動方程式はマクスウェル方程式から導かれる必要条件ではあるものの十分条件ではない。そのため、マクスウェル方程式から波動方程式を導く過程で、電場と磁場の相互関係などの情報の一部が失われている。したがって、電磁波の波動方程式の形をローレンツ変換の下で不変にするだけでは、電場・磁場の変換則を導くことはできない。
次ページから…
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞電磁波の波動方程式のローレンツ変換
