【やさしい相対性理論】マイケルソン・モーリーの実験

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　本ページでは、マイケルソン-モーリーの実験原理、理論的予想、そして物理学の歴史を変えた実験結果について解説する。19世紀末、多くの物理学者は、光が伝わるためには媒質「エーテル」が必要であると考えており、もし地球がそのエーテル中を運動しているなら、地球上ではエーテル風が観測されるはずである。マイケルソン-モーリーは、この効果を干渉計によって直接検出しようとした。

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前ページでは、19世紀の電磁気学で重要な役割を果たした「エーテル」の概念について解説した。マクスウェル方程式とガリレイ変換の不整合から、なぜ電磁波の媒質が必要と考えられたのかを整理し、エーテル風という発想がどのように生まれたのかを詳しく見ていった。さらに、光速度測定によってエーテルの存在を検証しようとした歴史的背景にも触れ、後の相対性理論へつながる問題意識を明らかにした。

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マイケルソン-モーリーの実験

もし、電磁波の媒質であるエーテルが空間に静止して存在し、その中を地球が運動しているとすれば、地球上の観測者からはエーテルが流れているかのように見える。この見かけの流れはエーテル風と呼ばれていた(前ページを参照）。エーテル風が存在する場合、光はエーテルに対して一定の速度で伝播するため、地球上で測定される光の速度は、進行方向とエーテル風の向きとの関係によって変化する。例えば、エーテル風に向かって進む光は相対的に遅く観測され、逆にエーテル風に沿って進む光は速く観測されるはずである。したがって、異なる方向における光の速度や伝播時間を精密に比較測定することで、エーテル風の存在、ひいてはエーテルの存在そのものを実験的に検証できると考えられた。この目的のもとに行なわれた実験がマイケルソン-モーリーの実験である。

マイケルソン干渉計

マイケルソン-モーリーの実験では、マイケルソン干渉計と呼ばれる装置が用いられた。マイケルソン干渉計は、精密に磨かれた2枚の鏡とビームスプリッター（半透鏡）から構成される。光源から発せられた単色光は、光路に対して斜めに配置されたビームスプリッターに入射する。ビームスプリッターは入射光の一部を透過させて一方の鏡へ導き、残りを反射してもう一方の鏡へ導く。それぞれの鏡で反射された光は再びビームスプリッターに戻り、合流した後、その一部が光源とは異なる方向へ進む。この方向に検出器を設置すると、2つの光の位相差に応じた干渉縞が観測される。

マイケルソン干渉計では、2つの光路を通る光の伝播時間の差が、干渉縞のずれとして観測される。ここで、干渉計の2つの腕の長さをそれぞれ\(L\)とし、地球がエーテルに対して速度\(v\)で運動していると仮定する。

まず、エーテル風の方向に平行な光路について考える。この方向では、光はエーテル風に逆らって進む場合の速度は

\begin{align*}c-v\tag{1}\end{align*}

であり、かかる時間は

\begin{align*}t_1=\frac{L}{c- v}\tag{2}\end{align*}

となる一方、エーテル風に沿って戻る場合の速度は

\begin{align*}c+v\tag{3}\end{align*}

であり、かかる時間は

\begin{align*}t_2=\frac{L}{c+v}\tag{4}\end{align*}

となる。そのため、往復に要する時間は

\begin{align*}t_\parallel&=t_1+t_2\\&=\frac{L}{c- v}+\frac{L}{c+ v}\\&=\frac{2Lc}{c^2- v^2}\\&=\frac{2L}{c}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\tag{5}\end{align*}

となり、十分にエーテル風の速度\(v\)が光速度と比べて小さければ

\begin{align*}t_\parallel&\approx\frac{2L}{c}\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right)\tag{6}\end{align*}

途中式

\(a\)が十分小さい時、下記が成り立つことを用いた。

\begin{align*}\frac{1}{1-a^2}\simeq1+a^2\end{align*}

となる。

次に、エーテル風に垂直な方向の光路を考える。この場合、光はエーテル風の影響を受けて斜めに進むため、次の三平方の定理

\begin{align*}(ct)^2=L^2+(vt)^2\tag{7}\end{align*}

が成り立ち、片道を進むのにかかる時間は

\begin{align*}t&=\frac{L}{\sqrt{c^2-v^2}}\\&=\frac{L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\tag{8}\end{align*}

であるから往復時間は

\begin{align*}t_\perp=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\tag{9}\end{align*}

となる。また、十分にエーテル風の速度\(v\)が光速度と比べて小さければ

\begin{align*}t_\perp\approx\frac{2L}{c}\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)\tag{10}\end{align*}

途中式

\(a\)が十分小さい時、下記が成り立つことを用いた。

\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\simeq1+\frac{1}{2}a^2\end{align*}

となる。

したがって、2つの光路の伝播時間差は

\begin{align*}\Delta t&=t_\parallel-t_\perp\\&\approx\frac{1}{2}\frac{L}{c}\frac{v^2}{c^2}\tag{11}\end{align*}

となり、この時間差\(\Delta t\)は距離の差\(\Delta l\)

\begin{align*}\Delta l&=c\Delta t\\&=L\frac{v^2}{c^2}\tag{12}\end{align*}

に相当し、波長を\(\lambda\)とすると干渉縞のずれの本数は

\begin{align*}\Delta N&=\frac{\Delta l}{\lambda}\\&=\frac{L}{\lambda}\frac{v^2}{c^2}\tag{13}\end{align*}

となる。そして、装置の角度を90°回転させると\(\Delta N\)の符号は逆になるため、干渉縞のずれの本数の変化量は2倍の

\begin{align*}\frac{2L}{\lambda}\frac{v^2}{c^2}\tag{14}\end{align*}

となる。

実験予想

当時の実験では、光路長\(L\)は

\begin{align*} L&\simeq11\ \text m\end{align*}

であり、波長\(\lambda\)と光速度\(c\)、地球の公転速度\(v\)は

\begin{align*}\lambda&\simeq5×10^{-7}\ \text m\\c&\simeq3.0×10^8\ \text{m/s}\\v&\simeq3.0×10^4\ \text{m/s}\end{align*}

であるから、干渉縞のずれの本数の最大は

\begin{align*}\frac{2L}{\lambda}\frac{v^2}{c^2}\simeq0.4\end{align*}

と予想されていた。当時の装置の精度では、干渉縞のずれの本数は0.01まで測定できたため、この干渉縞のずれは十分観測できると思われていた。

実験結果

実際にこの実験を行なった結果、干渉縞のずれは全く観測されなかった。この結果は、光の速度が方向によらず一定であることを示唆し、エーテルの存在に強い疑問を投げかけるものであった。

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次ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル

\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}

が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。

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