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本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で方程式の形が保存されないことを確認し、古典力学と電磁気学の間に存在する不整合の本質を明らかにする。
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前ページでは、波動方程式がガリレイ変換の下でどのように振る舞うかを詳しく検証した。また、媒質の静止系を基準にした記述において一見不変性が破れるように見える理由を明確にし、物理法則の記述における自由度の扱いについても整理した。
内容
マクスウェル方程式のガリレイ変換
真空中におけるマクスウェル方程式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
がガリレイ変換の下で不変でないことを確かめる。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるマクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{1}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{2}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{3}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は微分演算子と電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol H\)を
\begin{align*}\boldsymbol \nabla&=\boldsymbol \nabla’\tag{5}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\tag{6}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{7}\\\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)は同じ点での値が同じであることを用いた)、ガリレイ変換後のマクスウェル方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{9}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{10}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{11}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{12}\end{align*}
となってガリレイ変換前のマクスウェル方程式の形と等しくならない。つまり、マクスウェル方程式はガリレイ変換で結ばれたすべての慣性系で同じ形になるとは限りない。
このように、古典力学と電磁気学の間には不整合があるように思える。マクスウェル方程式がガリレイ変換の下でなぜ不変にならないかは、マクスウェル方程式から導かれる電磁波の波動方程式を調べることで明らかになり、次ページで確認する。
次ページから…
次ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル
\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}
が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。
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