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本ページでは…
本ページでは、空間座標におけるガリレイ変換
\begin{align*}x’&=x-vt\\y’&=y\\z’&=z\end{align*}
に加えて局所時間\begin{align*}t’&=t-\frac{v}{c^2}x\end{align*}
を導入すると、\(\frac{v^2}{c^2}\)が十分小さいときに近似的にマクスウェル方程式の形が保たれることをみる。これは、慣性系同士の相対速度\(v\)が光速度\(c\)と比べて十分小さい低速極限よりもさらに精度の高い変換である。スポンサーリンク
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前ページでは、ガリレイ変換に加えて次のような電場·磁場の変換
\begin{align}E_x &= E’_x\\E_y &= E’_y + v\mu_0 H’_z \\
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
を行うことで、慣性系同士の相対速度\(v\)が光速度\(c\)と比べて十分小さい低速極限
\begin{align*}\frac{v}{c}\simeq0\end{align*}
で、マクスウェル方程式の形が不変となることを見た。
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内容
局所時間
本ページでは、低速極限からさらに精度を上げて、\(\frac{v}{c}\)が十分に小さくなくても\(\frac{v^2}{c^2}\)が十分小さいときに近似的にマクスウェル方程式の形が保たれるように変換則を改良していく。このとき、時間そのものを補正する「局所時間」の考えが現れる。
前ページで見たが、マクスウェル方程式
\begin{align}
\frac{\partial H_x}{\partial x}
+\frac{\partial H_y}{\partial y}
+\frac{\partial H_z}{\partial z}
&=0\tag{A}\\
\frac{\partial E_x}{\partial x}
+\frac{\partial E_y}{\partial y}
+\frac{\partial E_z}{\partial z}
&=0\tag{B}\\
\frac{\partial E_z}{\partial y}
-\frac{\partial E_y}{\partial z}
&=-\mu_0\frac{\partial H_x}{\partial t}\tag{C}\\
\frac{\partial E_x}{\partial z}
-\frac{\partial E_z}{\partial x}
&=-\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t}\tag{D}\\
\frac{\partial E_y}{\partial x}
-\frac{\partial E_x}{\partial y}
&=-\mu_0\frac{\partial H_z}{\partial t}\tag{E}\\
\frac{\partial H_z}{\partial y}
-\frac{\partial H_y}{\partial z}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}\tag{F}\\
\frac{\partial H_x}{\partial z}
-\frac{\partial H_z}{\partial x}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\tag{G}\\
\frac{\partial H_y}{\partial x}
-\frac{\partial H_x}{\partial y}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}\tag{H}
\end{align}
\frac{\partial H_x}{\partial x}
+\frac{\partial H_y}{\partial y}
+\frac{\partial H_z}{\partial z}
&=0\tag{A}\\
\frac{\partial E_x}{\partial x}
+\frac{\partial E_y}{\partial y}
+\frac{\partial E_z}{\partial z}
&=0\tag{B}\\
\frac{\partial E_z}{\partial y}
-\frac{\partial E_y}{\partial z}
&=-\mu_0\frac{\partial H_x}{\partial t}\tag{C}\\
\frac{\partial E_x}{\partial z}
-\frac{\partial E_z}{\partial x}
&=-\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t}\tag{D}\\
\frac{\partial E_y}{\partial x}
-\frac{\partial E_x}{\partial y}
&=-\mu_0\frac{\partial H_z}{\partial t}\tag{E}\\
\frac{\partial H_z}{\partial y}
-\frac{\partial H_y}{\partial z}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}\tag{F}\\
\frac{\partial H_x}{\partial z}
-\frac{\partial H_z}{\partial x}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\tag{G}\\
\frac{\partial H_y}{\partial x}
-\frac{\partial H_x}{\partial y}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}\tag{H}
\end{align}
にガリレイ変換
\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x’}\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y’}\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z’}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-v\frac{\partial}{\partial x’}
\end{align}
\end{align}
と電場·磁場の変換
\begin{align}E_x &= E’_x\\E_y &= E’_y + v\mu_0 H’_z \\
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
を行なうと
\begin{align}
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial H’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}\right)
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text A}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial E’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}\right)
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text B}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}\right)
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text C}$}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial E’_z}{\partial x’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text D}$}
\\
\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text E}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}\right)
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text F}$}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial H’_z}{\partial x’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text G}$}
\\
\frac{\partial H’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial x’}\tag{$\bar {\text H}$}
\end{align}
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial H’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}\right)
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text A}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial E’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}\right)
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text B}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}\right)
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text C}$}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial E’_z}{\partial x’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text D}$}
\\
\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text E}$}\\
\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}\right)
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\tag{$\bar {\text F}$}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial H’_z}{\partial x’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial x’}
\tag{$\bar {\text G}$}
\\
\frac{\partial H’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial x’}\tag{$\bar {\text H}$}
\end{align}
となっていた。ここで、\(\frac{v^2}{c^2}\) が十分小さい
\begin{align*}\frac{v^2}{c^2}\simeq0\end{align*}
とき、式(\(\bar{\text A}\))~(\(\bar{\text H}\))は
\begin{align}
\frac{\partial H’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial E’_z}{\partial x’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial H’_z}{\partial x’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
\end{align}
\frac{\partial H’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial x’}
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}
&=-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial E’_z}{\partial x’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial E’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\frac{\partial H’_z}{\partial x’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
+\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_y}{\partial x’}
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
-\frac{v}{c^2}\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
\end{align}
となって、\(\frac{v}{c}\) の一次の項が残る。しかし、これらの項は左辺に現れている電場·磁場の時間微分のため、左辺の項に吸収させられそうである。実際に\(\frac{v}{c}\) を含む項を左辺に移項すると
\begin{align}
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_x
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}
&=0\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_x
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}
&=0\\
\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_z&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_y
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_z&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_y
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
\end{align}
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_x
+\frac{\partial H’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial H’_z}{\partial z’}
&=0\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_x
+\frac{\partial E’_y}{\partial y’}
+\frac{\partial E’_z}{\partial z’}
&=0\\
\frac{\partial E’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial E’_y}{\partial z’}
&=-\mu_0\frac{\partial H’_x}{\partial t’}\\
\frac{\partial E’_x}{\partial z’}
-\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_z&=-\mu_0\frac{\partial H’_y}{\partial t’}
\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)E’_y
-\frac{\partial E’_x}{\partial y’}&=-\mu_0\frac{\partial H’_z}{\partial t’}
\\
\frac{\partial H’_z}{\partial y’}
-\frac{\partial H’_y}{\partial z’}
&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_x}{\partial t’}\\\frac{\partial H’_x}{\partial z’}
-\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_z&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_y}{\partial t’}
\\
\left(\frac{\partial }{\partial x’}+\frac{v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t’}\right)H’_y
-\frac{\partial H’_x}{\partial y’}&=\varepsilon_0\frac{\partial E’_z}{\partial t’}
\end{align}
とまとめることができ、変換前のマクスウェル方程式(A)~(H)と見比べると、空間微分において次のガリレイ変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x’}\end{align*}
ではなく、次の変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x’}-\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\end{align*}
であれば、余分な項を削除できることがわかる。つまり、次の変換
\begin{align}\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x’}-\frac{v}{c^2}\frac{\partial}{\partial t’}\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y’}\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z’}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-v\frac{\partial}{\partial x’}
\\E_x &= E’_x\\E_y &= E’_y + v\mu_0 H’_z \\
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
\\E_x &= E’_x\\E_y &= E’_y + v\mu_0 H’_z \\
E_z&= E’_z{}- v\mu_0 H’_y\\H_x &= H’_x\\
H_y &= H’_y -v \varepsilon_0 E’_z \\
H_z &= H’_z + v\varepsilon_0 E’_y
\end{align}
の下で、\(\frac{v^2}{c^2}\)が十分小さいときに近似的にマクスウェル方程式の形は不変となることがわかる。これらの変換と次の連鎖律
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial x’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t’}\\\frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial x’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial y}\frac{\partial}{\partial t’}\\\frac{\partial}{\partial z} &= \frac{\partial x’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial z}\frac{\partial}{\partial t’}\\\frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial x’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x’} +\frac{\partial y’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial y’} +\frac{\partial z’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial z’} +\frac{\partial t’}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t’}\end{align*}
を比較すると、時間と空間座標は、
\begin{align*}x’&=x-vt\tag{1}\\y’&=y\tag{2}\\z’&=z\tag{3}\\t’&=t-\frac{v}{c^2}x\tag{4}\end{align*}
と変換される必要がある。
ここで、時間の変換について見てみると、時間は空間座標にも相対速度にも依存するため、時間は位置と慣性系によって異なる値をとり、どの慣性系においても同じ時間とする絶対時間ではなくなっている。このような時間を局所時間という。局所時間では、離れた場所に置かれた2つの時計が同じ時刻を示しているかどうかは、どの慣性系から見るかによって変わり、これを同時性の相対性という。
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次ページでは、局所時間を考慮してもマイケルソン-モーリーの実験結果を説明できないことを確認し、エーテル中を運動する物体が運動方向に縮むローレンツ収縮を導入する必要があることをみる。
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