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本ページでは、ファインマン核に含まれる各々の遷移確率振幅を計算し、位相空間での経路積分表示(多自由度)を求める。
ここで扱うスカラー場は無限連続自由度であり、連続な空間全ての点で自由度がある、ということである。例えば\(x\),\(y\),\(z\)軸からなる3次元空間では、空間の点全ては連続であり、それぞれの点で自由度がある、つまり任意の値を取ることができるイメージである。
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前ページでは、スカラー場における2点間の遷移確率振幅であるファインマン核\(K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の定義に、完全系を挿入することによって、複数の状態を経たときの遷移確率振幅として表せることを確認した。
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{N-1}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}}\vert\right\}\\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{N-2}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\vert\right\} \\&\ \ \ \cdots\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert\right\} \cdots \\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{2}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert\right\} \\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{1}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert\right\} \\&\ \ \ × \vert\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}},t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{1}\end{align*}
このとき、粒子は次のような経路を経る。
\begin{align} &(\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(\phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\\&\rightarrow\cdots\rightarrow(\phi_{\scriptsize{N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{2}\end{align}
始状態\((\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)と終状態\((\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}})\)は固定されているが、中間状態\((\phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\)は積分\(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。
内容
位相空間とは
位相空間とはスカラー場\(\phi\)と正準運動量\(\pi\)の2組の独立変数\((\phi,\pi)\)からなる空間であり、この空間において関数はスカラー場\(\phi\)と正準運動量\(\pi\)で表される。
遷移確率振幅の計算
ファインマン核の位相空間での経路積分表示(スカラー場)を求める準備として、初めに、式(\(1\))に含まれる各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を次のように計算していく。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}} ,t_{\scriptsize{n}}\vert\phi_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t_{\scriptsize{n}}\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}×e^{\frac{i}{\hbar}t_{\scriptsize{n-1}}\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert \phi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}(t_{\scriptsize{n}}-t_{\scriptsize{n-1}})\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert \phi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert \phi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\tag{3} \end{align*}
※※※1番目の等号ではシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像との関係式(以前のページを参照)
\begin{align*}\vert\phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}=e^{+\frac{i}{\hbar}t\hat{H} (\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert \phi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{4}\end{align*}
とブラとケットの関係式(以前のページを参照)
\begin{align*}\langle a\vert=\vert a \rangle^\dagger\tag{5}\end{align*}
の関係を用い、3番目の等号では、
\begin{align*}\varDelta t\equiv t_{\scriptsize{n}}-t_{\scriptsize{n-1}}\tag{6}\end{align*}
と定義した。※※※
式(\(3\))の指数部分\(e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\)は、\(\varDelta t\)が十分小さいとき、次のように展開＆近似することができ、
\begin{align*} e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})} \simeq1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})\tag{7} \end{align*}
この式を、式(\(3\))に代入して式変形を行なうと次のようになる。
\begin{align*} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert\phi_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}} \vert e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq\sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}\phi_{\scriptsize{n}} \bigg\vert 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})\bigg\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}\bigg\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}\phi_{\scriptsize{n}}\bigg\vert \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})\right)\left\{\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \pi_{\scriptsize{n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{_{{\scriptsize{\text{S}}}}}\langle \pi_{\scriptsize{n}}\vert\right\}\bigg\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}\bigg\rangle_\text{S} \\&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi_ {\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(\phi_ {\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})\right){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert \pi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}{}_{{\scriptsize{\text{S}}}}\langle \pi_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})}\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left(\frac{i}{\hbar}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right)\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})\right) \\&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_\boldsymbol{x}\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}\right)\exp \left[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\left\{\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})}{\varDelta t}\right)-H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})}{2\pi\hbar}\right)\exp \left[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\left\{\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})}{\varDelta t}\right)-H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})\right\}\right]\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})}{2\pi\hbar}\right)\exp \left[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})}{\varDelta t}\right)-\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right\}\right]\tag{8} \end{align*}
※※※3番目の等号では完全系
\begin{align}\left(\prod_\boldsymbol{x}\int d\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right)\vert \pi_{\scriptsize{n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{_{{\scriptsize{\text{S}}}}}\langle \pi_{\scriptsize{n}}\vert =\boldsymbol I\tag{9}\end{align}
を挿入し、4番目の等号では
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert \hat H(\hat{\phi}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{\pi}_{\scriptsize{\text{S}}})=H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}}){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert\tag{10} \end{align*}
を用い、5番目の等号では
\begin{align} 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})\simeq e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})} \tag{11}\end{align}
と座標の固有状態と運動量の固有状態の内積(以前のページを参照)
\begin{align} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}\vert \pi_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int d^3\boldsymbol{x}\ \pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right] \\&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left(\frac{i}{\hbar}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\right)\tag{12}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle \pi_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int d^3\boldsymbol{x}\ \pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})\right] \\&=\left(\prod_\boldsymbol{x}\sqrt{\frac{\varDelta V}{2\pi\hbar}}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol{x})\right)\tag{13}
\end{align}
を用いた(\(\sum_{\boldsymbol x}\)は連続している座標変数\(\boldsymbol x\)それぞれでの和であることを表す。わざわざ総和で表す理由は、以前のページで求めた多自由度での経路積分表示と比較しやすいようにするためである。)。多自由度ではハミルトニアン\(H\)を総和で表せなかったが、スカラー場では次のようにハミルトニアン密度\(\mathcal H\)を用いて総和で表すことができる。
\begin{align*}H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})&=\int d^3\boldsymbol{x}\ \mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}))\\&=\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\ \mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}))\tag{14}\end{align*}
ここで、次の違いに注意である。
\begin{align*}H(\phi_{\scriptsize{n}},\pi_{\scriptsize{n}})&=H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{-\infty}),\cdots,\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{\infty}),\pi_{\scriptsize{-\infty}}(\boldsymbol{x}),\cdots,\pi_{\scriptsize{\infty}}(\boldsymbol{x}))\tag{15}\\\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x}))&\tag{16}\end{align*}
ハミルトニアン密度\(\mathcal H\)は座標\(\boldsymbol x\)と時間\(t\)を表す\(n\)によって値が決まるが、ハミルトニアン\(H\)はハミルトニアン密度が空間座標で積分されているので、各座標でのハミルトニアン密度\(\mathcal H\)と時間\(t\)によって値が決まる。※※※
位相空間での経路積分表示
次に、式(\(8\))で求めた各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}},t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を式\((1)\)のファインマン核に代入して、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると次のように変形できる。
\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}},t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\int\frac{\varDelta Vd\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)-\mathcal H(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x),\pi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{17} \end{align*}
これが位相空間での経路積分表示(スカラー場)であり、位相空間のためスカラー場\(\phi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)で表されている(例えば、遷移確率振幅であるファインマン核に具体的な数値を代入すると、式(\(17\))はスカラー場\(\phi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)で表され、スカラー場\(\phi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)と正準運動量\(\pi_{\scriptsize {\boldsymbol x,n}}\)を軸とする平面にグラフが描かれる)。
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次ページでは、ここで求めた位相空間での経路積分表示(スカラー場)を、汎関数積分の形で表示することを試みる。
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