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本ページでは、誘導計量を導入し、世界面を導く相対論的な作用\(S\)である南部-後藤作用
\begin{align*}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi^1 d\xi^2\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^1}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\xi^2}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^1}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\xi^1}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\xi^2}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\xi^2}\right)}\end{align*}
がパラメーター付け替え不変性を持つことを調べる。
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前ページでは、平行四辺形である微小面積を用いた世界面を導く南部-後藤作用
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\tau}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\sigma}\right)}\tag{1}\end{align}
を求めた。
内容
パラメーター付け替え不変性とは、どのようなパラメーター付けでも形が変わらない性質をいう。世界面にパラメーター\(\xi^1\),\(\xi^2\)を付けた際に、世界面の作用\(S\)である南部-後藤作用がパラメーター付け替え不変性を持つことを見る。
初めに、誘導計量と呼ばれるものを導入する。不変距離の二乗\((ds)^2\)は、時空座標ベクトルの微小量\(d X\)
\begin{align*}d X&=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)\tag{2}\end{align*}
のミンコフスキー内積で
\begin{align*}(ds)^2&=d X\cdot d X\tag{3}\end{align*}
と表すことができ、もし、座標ベクトル\(d X\)がパラメーター\(\xi^1\)と\(\xi^2\)で表される時
\begin{align*}(ds)^2&=\left(\frac{\partial X}{\partial\xi^1}d\xi^1+\frac{\partial X}{\partial\xi^2}d\xi^2\right)\cdot\left(\frac{\partial X}{\partial\xi^1}d\xi^1+\frac{\partial X}{\partial\xi^2}d\xi^2\right)\\&=\left(\frac{\partial X}{\partial\xi^\alpha}d\xi^\alpha\right)\cdot\left(\frac{\partial X}{\partial\xi^\beta}d\xi^\beta\right)\\&=\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^\alpha}\frac{\partial X_\mu}{\partial\xi^\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta\\&=\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^\alpha}\frac{\partial X^\nu}{\partial\xi^\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta\tag{4}\end{align*}
となる。
※※※1行目での変換では、連鎖律
\begin{align*}d X=\frac{\partial X}{\partial\xi^1}d\xi^1+\frac{\partial X}{\partial\xi^2}d\xi^2\tag{5}\end{align*}
を用いた。2行目以降の\(\alpha\),\(\beta\)は\(1\),\(2\)の値をとる。※※※
ここで、次の量
\begin{align*}\gamma_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\frac{d X^\mu}{d\xi^\alpha}\frac{d X^\nu}{d\xi^\beta}\tag{6}\end{align*}
を定義すると、世界距離の二乗\((ds)^2\)は次のようにシンプルに表現できる。
\begin{align*}(ds)^2&=\gamma_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta\tag{7}\end{align*}
また、ミンコフスキー計量\(\eta_{\mu\nu}\)を用いると、世界距離の二乗\((ds)^2\)は
\begin{align*}(ds)^2&=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\tag{8}\end{align*}
とも表されるため、先ほど定義した\(\gamma_{\alpha\beta}\)は計量と似た性質を持つと予想できる。この計量に似た\(\gamma_{\alpha\beta}\)はミンコフスキー計量\(\eta_{\mu\nu}\)から誘導されたものなので、誘導計量と呼ばれる。この誘導計量を行列で表すと
\begin{align*}\boldsymbol\gamma&=\left(\begin{array}{c}\gamma_{11}&\gamma_{12}\\\gamma_{21}&\gamma_{22}\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^1}\frac{\partial X_\mu}{\partial \xi^1}&\frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^1}\frac{\partial X_\mu}{\partial \xi^2}\\\frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^1}\frac{\partial X_\mu}{\partial \xi^2}&\frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^2}\frac{\partial X_\mu}{\partial \xi^2}\end{array}\right)\tag{9}\end{align*}
となり、この行列\(\boldsymbol \gamma\)の行列式を
\begin{align*}\gamma=\text{det}(\boldsymbol \gamma)\tag{10}\end{align*}
と表すと、\(\xi^1\)と\(\xi^2\)でパラメーター付けされた世界面の南部-後藤作用
\begin{align*}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi^1 d\xi^2\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^1}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\xi^2}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\xi^1}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\xi^1}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\xi^2}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\xi^2}\right)}\tag{11}\end{align*}
は
\begin{align*}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi^1 d\xi^2\sqrt{-\gamma}\tag{12}\end{align*}
ととてもシンプルに表せる。
南部-後藤作用のパラメーター付け替え不変性を確認するため、2つの準備を行なう。
南部-後藤作用において、パラメーターとして\(\xi’^1\),\(\xi’^2\)を選択した時を考える。1つ目の準備として、まず、どのようなパラメーター付けでも世界距離の二乗は不変なため、
\begin{align*}\gamma_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta&=\gamma’_{pq}d\xi’^p d\xi’^q\\&=\gamma’_{pq}\frac{\partial\xi’^p}{\partial\xi^\alpha}\frac{\partial\xi’^q}{\partial\xi^\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta\tag{13}\end{align*}
が成り立つことを用いる。
※※※2行目への変換では、連鎖律
\begin{align*}d\xi’^p=\frac{\partial\xi’^p}{\partial\xi^\alpha}d\xi^\alpha\tag{14}\\d\xi’^q=\frac{\partial\xi’^q}{\partial\xi^\beta}d\xi^\beta\tag{15}\end{align*}
を用いた。以後、\(p\),\(q\)は\(1\),\(2\)の値をとる※※※
式(13)より、パラメーター\(\xi^1\),\(\xi^2\)で表された誘導計量\(\gamma_{\alpha\beta}\)と、パラメーター\(\xi’^1\),\(\xi^2\)で表された誘導計量\(\gamma’_{pq}\)の関係は
\begin{align*}\gamma_{\alpha\beta}=\gamma’_{pq}\frac{d\xi’^p}{d\xi^\alpha}\frac{d\xi’^q}{d\xi^\beta}\tag{16}\end{align*}
となる。関係式(16)を行列で表すと
\begin{align*}\boldsymbol\gamma&=\left(\begin{array}{c}\gamma’_{pq}\frac{\partial \xi’^p}{\partial \xi^1}\frac{\partial \xi’^q}{\partial \xi^1}&\gamma’_{pq}\frac{\partial \xi’^p}{\partial \xi^1}\frac{\partial \xi’^q}{\partial \xi^2}\\\gamma’_{pq}\frac{\partial \xi’^p}{\partial \xi^1}\frac{\partial \xi’^q}{\partial \xi^2}&\gamma’_{pq}\frac{\partial \xi’^p}{\partial \xi^2}\frac{\partial \xi’^q}{\partial \xi^2}\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^1}&\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^1}\\\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^2}&\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\gamma’_{11}&\gamma’_{12}\\\gamma’_{21}&\gamma’_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^1}&\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^2}\\\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^1}&\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^2}\end{array}\right)\tag{17}\end{align*}
となり、次の行列
\begin{align*}\boldsymbol M’=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^1}&\frac{\partial \xi’^1}{\partial \xi^2}\\\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^1}&\frac{\partial \xi’^2}{\partial \xi^2}\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
を定義すると
\begin{align*}\boldsymbol\gamma=\boldsymbol M’^T\boldsymbol\gamma’\boldsymbol M’\tag{19}\end{align*}
と表せる。ここで、誘導計量\(\gamma’_{pq}\)の行列を
\begin{align*}\boldsymbol\gamma’&=\left(\begin{array}{c}\gamma’_{11}&\gamma’_{12}\\\gamma’_{21}&\gamma’_{22}\end{array}\right)\tag{20}\end{align*}
と表記した。そして、式(19)を行列式で表すと
\begin{align*}\gamma&=\text{det}\ \boldsymbol M’^T\gamma’\text{det}\ \boldsymbol M’\\&=\gamma'(\text{det}\ \boldsymbol M’)^2\tag{21}\end{align*}
となる。
※※※1行目の変換では、次の定義
\begin{align*}\gamma’=\text{det}\ \boldsymbol\gamma’\tag{22}\end{align*}
を用い、2行目への変換では
\begin{align*}\text{det}\ \boldsymbol M’=\text{det}\ \boldsymbol M’^T\tag{23}\end{align*}
を用いた。
※※※
2つ目の準備として、南部-後藤作用に現れている微小量の積\(d\xi^1d\xi^2\)を変形する。式(3),(4),(7),(8),(13)に現れている微小量の積は内積(ドット積)であり、内積は長さや角度を表すが、今回の微小量の積\(d\xi^1d\xi^2\)は面積を表し、内積とは異なる。この面積を表す積はウェッジ積と等価であり、ウェッジ積は記号\(\wedge\)で表される(もし、微小量\(d\xi^1\)と\(d\xi^2\)が垂直ならば、面積\(d\xi^1d\xi^2\)は長方形になり単なるスカラー積に等しい)。微小量のウェッジ積\(d\xi^1\wedge d\xi^2\)を計算すると、
\begin{align*}d\xi^1 \wedge d\xi^2&=\left(\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}d\xi’^1+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}d\xi’^2\right)\wedge\left(\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}d\xi’^1+\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^2\right)\\&=\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}d\xi’^1\wedge d\xi’^1+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^1\wedge d\xi’^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}d\xi’^2\wedge d\xi’^1+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^2\wedge d\xi’^2\\&=\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^1\wedge d\xi’^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}d\xi’^2\wedge d\xi’^1\\&=\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^1\wedge d\xi’^2-\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}d\xi’^1\wedge d\xi’^2\\&=\text{det}\ \boldsymbol Md\xi’^1\wedge d\xi’^2\tag{24}\end{align*}
と変形できる。
※※※1行目への変換では連鎖律
\begin{align*}d\xi^1&=\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}d\xi’^1+\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}d\xi’^2\tag{25}\\d\xi^2&=\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}d\xi’^1+\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}d\xi’^2\tag{25}\end{align*}
を用い、3行目への変換では同じ微小量からなる面積が0になる性質
\begin{align*}d\xi^\alpha\wedge d\xi^\alpha=0\tag{26}\end{align*}
を用い、4行目への変換ではウェッジ積の順序が変わると面積が反転し符号が変わる性質
\begin{align*}d\xi^\alpha\wedge d\xi^\beta=-d\xi^\beta\wedge d\xi^\alpha\tag{27}\end{align*}
を用い、5行目への変換では次の定義
\begin{align*}\boldsymbol M=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^1}&\frac{\partial \xi^1}{\partial \xi’^2}\\\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^1}&\frac{\partial \xi^2}{\partial \xi’^2}\end{array}\right)\tag{28}\end{align*}
を用いた。
※※※
ウェッジ積は積の順序が変わると符号が変わるが、微小量の積\(d\xi^1d\xi^2\)は積の順序が変わっても符号は変わらないため、係数\((\text{det}\ \boldsymbol M)\)が正になるように絶対値記号を用いると、
\begin{align*}d\xi^1d\xi^2=\vert\text{det}\ \boldsymbol M\vert d\xi’^1d\xi’^2\tag{29}\end{align*}
となる。係数\(\vert\text{det}\ \boldsymbol M\vert\)はまさにヤコビ行列式(ヤコビアン)である。最後に、式(29)を参考にすると、微小量の積\(d\xi’^1d\xi’^2\)は
\begin{align*}d\xi’^1d\xi’^2=\vert\text{det}\ \boldsymbol M’\vert d\xi^1d\xi^2\tag{30}\end{align*}
となる。
2つの準備が整った。南部-後藤作用の式(12)に、誘導計量の式(21)を代入し、微小量の積の式(30)を用いると
\begin{align*}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi^1 d\xi^2\sqrt{-\gamma'(\text{det}\ \boldsymbol M’)^2}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi^1 d\xi^2\sqrt{-\gamma’}\vert\text{det}\ \boldsymbol M’\vert\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\xi’^1 d\xi’^2\sqrt{-\gamma’}\tag{31}\end{align*}
となり、南部-後藤作用がパラメーター付け替え不変性を持つことが分かる。
最後に、パラメーター付けのいくつかの例を載せておく。\(X^1\)方向に\(X^1=0\)から\(X^1=1\)まで直線の弦が時刻\(X^0=0\)から時刻\(X^0=1\)までの間静止している時、1番シンプルに表すには
\begin{align*}X^0=\tau\ \ \ 0\leqq\tau\leqq1\\X^1=\sigma\ \ \ 0\leqq\sigma\leqq1\end{align*}
があるが、変化球な例としては
\begin{align*}X^0=\tau\ \ \ 0\leqq\tau\leqq1\\X^0=\sigma^2\ \ \ 0\leqq\sigma\leqq1\end{align*}
であったり、
\begin{align*}X^0=\tau\ \ \ 0\leqq\tau\leqq1\\X^0=\sigma^{t+1}\ \ \ 0\leqq\sigma\leqq1\end{align*}
などがあり、どれも同じ世界面を導く。
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