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本ページでは、南部-後藤作用のパラメーター付け替え不変性を用いて、南部-後藤作用がシンプルになるパラメーター付けである静的ゲージを採用してみる。
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以前のページでは、世界面を描く弦の相対論的作用である南部-後藤作用\(S\)
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\tau}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\sigma}\right)}\tag{1}\end{align}
を導いた。また、南部-後藤作用がパラメーター付け替え不変性を持つことを見た。
内容
世界面に対するパラメーターの付け方は自由であり、時間方向と空間方向を交えたパラメーターの付け方もある。しかし、パラメーター付け替え不変性によりどのようなパラメーターの付け方でもよいため、話をシンプルにするために、時間方向にパラメーター\(\tau\)を付け、空間方向にパラメーター\(\sigma\)を付けるとする。
また、時間方向の座標\(X^0\)は、パラメーター\(\tau\)が始状態\(\tau_i\)から終状態\(\tau_f\)まで連続的に増加すれば、\(X^0=\tau^2\)や\(X^0=e^\tau\)などのどのような表し方でも良いため、ここでは
\begin{align*}X^0=c\tau\tag{2}\end{align*}
と表した時を考える。ある選ばれたローレンツ慣性系における時間方向の座標は
\begin{align*}X^0=ct\tag{3}\end{align*}
であるため、この時は
\begin{align*}\tau=t\tag{4}\end{align*}
となる。このようなパラメーターの付け方を静的ゲージと呼ぶ。
静的ゲージのとき、世界面上の各点の成分は
\begin{align*}X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(t,\sigma)=(ct,\boldsymbol X(t,\sigma))\tag{5}\end{align*}
となり、それぞれのパラメーター\(\tau\),\(\sigma\)で偏微分すると
\begin{align*}\frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial \sigma},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)=\left(0,\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)\tag{6}\\\frac{\partial X^\mu}{\partial \tau}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial t},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)=\left(c,\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\tag{7}\end{align*}
となる。一般的な南部-後藤作用は
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\tau}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\sigma}\right)}\tag{1}\end{align}
であるため、静的ゲージでの南部-後藤作用は
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial\sigma}\right)^2-\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial\sigma}\right)^2+\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\tag{8}\end{align}
となる。ここで、\(\boldsymbol X\)は空間ベクトルであり、空間ベクトルの内積はユークリッド内積である。
弦が静止している時(または、等速で動く弦と同じ慣性系\(R\)に観測者がいる時)、静的ゲージを採用すると、パラメーター\(\tau\)は時間\(t\)に置き換えられ、空間方向の成分\(\boldsymbol X\)は次のように時間\(t\)に依存せず、
\begin{align*}X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(t,\sigma)=(ct,\boldsymbol X(\sigma))\tag{9}\end{align*}
となる。それぞれのパラメーター\(\tau\),\(\sigma\)で偏微分すると
\begin{align*}\frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial \sigma},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)=\left(0,\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)\tag{10}\\\frac{\partial X^\mu}{\partial \tau}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial t},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)=\left(c,0\right)\tag{11}\end{align*}
となる。そして、南部-後藤作用は
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{0-\left(c^2\right)\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int cdt d\sigma\left|\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right|\tag{12}\end{align}
とシンプルに表すことが出来る。\(\left|\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right|d\sigma\)は無限小弦素片の長さ\(d\boldsymbol X\)に相当するので、式(12)の結果は以前に世界面の作用を求めた時と同じ結果になっていることが分かる(以前の時は\(d\boldsymbol X\)を\(da\)と表していた)。
次に静止している弦を、弦に対して空間\(X^1\)方向に等速で動いている慣性系\(\bar R\)から眺めてみる。この慣性系\(\bar R\)から静止している慣性系\(R\)の座標を眺めたら、慣性系\(R\)の座標軸\(X^0\)と\(X^1\)は直角ではなく傾いて見えるだろう。慣性系\(\bar R\)から世界面上の各点を眺めた時、その各点はその慣性系\(\bar R\)の座標\(\bar X^\mu\)を用いて
\begin{align*}\bar X^\mu(\tau,\sigma)&=\bar X^\mu(t,\sigma)\\&=(\bar X^0(t,\sigma),\bar X^1(t,\sigma),\bar X^2( \sigma),\bar X^3( \sigma))\\&=\left(\gamma\left(ct-\frac{vX^1}{c}\right),\gamma(X^1-vt),X^2( \sigma),X^3( \sigma)\right)\tag{13}\end{align*}
と表される。慣性系\(\bar R\)においても座標\(\bar X^\mu(\tau,\sigma)\)が慣性系\(R\)の時に用いたパラメーター\(\tau\),\(\sigma\)で表されるのは、ローレンツ変換
\begin{align*}\bar X^0&=\gamma\left(X^0-\frac{vX^1}{c}\right)\tag{14}\\\bar X^1&=\gamma(X^1-vt)\tag{15}\\\bar X^2&=X^2\tag{16}\\\bar X^3&=X^3\tag{17}\\\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\tag{18}\end{align*}
で慣性系\(\bar R\)の座標\(\bar X^\mu\)が慣性系\(R\)の座標\(X^\mu\)で表されるからである。式(13)の1行目の変換では静的ゲージの式(4)を用い、3行目の変換ではローレンツ変換の式を代入し静的ゲージの式(3)を用いた。
それぞれのパラメーター\(\tau\),\(\sigma\)で偏微分すると
\begin{align*}\frac{\partial X^\mu}{\partial \bar\sigma}&=\left(\frac{\partial \bar X^0}{\partial \sigma},\frac{\partial \bar X^1}{\partial \sigma},\frac{\partial \bar X^2}{\partial \sigma},\frac{\partial \bar X^3}{\partial \sigma}\right)\\&=\left(\gamma\frac{v}{c}\frac{\partial X^1}{\partial \bar\sigma},\gamma\frac{\partial X^1}{\partial \sigma},\frac{\partial \bar X^2}{\partial \sigma},\frac{\partial \bar X^3}{\partial \sigma}\right)\tag{19}\\\frac{\partial X^\mu}{\partial \tau}&=\left(\frac{\partial \bar X^0}{\partial t},\frac{\partial \bar X^1}{\partial t},\frac{\partial \bar X^2}{\partial t},\frac{\partial \bar X^3}{\partial t}\right)\\&=\left(c\gamma,-v\gamma,0,0\right)\tag{20}\end{align*}
となり、南部-後藤作用を求めると
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(v\gamma^2\frac{\partial X^1}{\partial \sigma}-v\gamma^2\frac{\partial X^1}{\partial \sigma}\right)^2-\left(c^2\gamma^2-v^2\gamma^2\right)\left(\gamma^2\frac{v^2}{c^2}\left(\frac{\partial X^1}{\partial \sigma}\right)^2-\gamma^2\left(\frac{\partial X^1}{\partial \sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^2}{\partial \sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^3}{\partial \sigma}\right)^2\right)}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(0\right)^2-\left(c^2\right)\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int cdt d\sigma\left|\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right|\tag{21}\end{align}
と式(12)に一致し、どの慣性系から世界面を眺めても固有面積\(dA\)や作用\(S\)がローレンツ不変であることが分かる。
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