HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞ローレンツ力のガリレイ変換
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、電場·磁場を適切に変換すればローレンツ力の式の形がガリレイ変換の下で不変となることをみる。
前ページまで⋯
前ページでは、電磁波の波動方程式の形がローレンツ変換の下で不変であることを見た。
内容
ローレンツ力の式のガリレイ変換
本ページでは、ローレンツ力の式の形は速度のガリレイ変換
\begin{align*} v_x&=v’_x+v\\ v_y&=v’_y\\ v_z&=v’_z \end{align*}
のみを行なっても不変とならないが、電場·磁場を次のように変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=E’_y+vB’_z\\E_z&=E’_z-vB’_y\\B_x&=B’_x\\B_y&=B’_y\\B_z&=B’_z\end{align*}
すれば不変となることを見る。
成分ごとに表したローレンツ力の式(以前のページを参照)
\begin{align*} F_x&=qE_x+q(v_yB_z-v_zB_y)\\ F_y&=qE_y+q(v_zB_x-v_xB_z)\\ F_z&=qE_z+q(v_xB_y-v_yB_x) \end{align*}
に、速度のガリレイ変換
\begin{align*} v_x&=v’_x+v\\ v_y&=v’_y\\ v_z&=v’_z \end{align*}
と、力がガリレイ変換の下で不変であること(以前のページを参照、これは加速度がガリレイ変換の下で不変だからである)を用いると
\begin{align*} F’_x&=qE_x+q(v_yB_z-v_zB_y)\\ F’_y&=qE_y+q(v_zB_x-v_xB_z-vB_z)\\ F’_z&=qE_z+q(v_xB_y-v_yB_x+vB_y) \end{align*}
となり、もし電場·磁場が変化しないとするとローレンツ力の式の形は不変とならない。しかし、電場·磁場を次のように変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=E’_y+vB’_z\\E_z&=E’_z-vB’_y\\B_x&=B’_x\\B_y&=B’_y\\B_z&=B’_z\end{align*}
すると、ローレンツ力の式は
\begin{align*} F’_x&=qE’_x+q(v’_yB’_z-v’_zB’_y)\\ F’_y&=qE’_y+q(v’_zB’_x-v’_xB’_z)\\ F’_z&=qE’_z+q(v’_xB’_y-v’_yB’_x) \end{align*}
となって、ガリレイ変換の下で不変であることがわかる。
電場·磁場の変換
マクスウェル方程式のローレンツ変換時に導いた電場·磁場の変換と、今回導いた電場·磁場の変換を見比べよう。以前のページで導いた電場·磁場の変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=\gamma(E’_y+v\mu_0H’_z)\\E_z&=\gamma(E’_z-v\mu_0H’_y)\\H_x&=H’_x\\H_y&=\gamma(H’_y-v\varepsilon_0E’_z)\\H_z&=\gamma(H’_z+v\varepsilon_0 E’_y)\\\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{align*}
は\(\boldsymbol H\)を用いて表していたため、\(H_x\),\(H_y\),\(H_z\)に関する式の両辺に\(\mu_0\)を掛けて、次の関係式
\begin{align*}\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H\end{align*}
を用いると
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=\gamma(E’_y+vB’_z)\\E_z&=\gamma(E’_z-vB’_y)\\B_x&=B’_x\\B_y&=\gamma\left(B’_y-\frac{v}{c^2}E’_z\right)\\B_z&=\gamma\left(B’_z+\frac{v}{c^2} E’_y\right)\end{align*}
となる。これと今回導いた電場·磁場の変換
\begin{align*}E_x&=E’_x\\E_y&=E’_y+vB’_z\\E_z&=E’_z-vB’_y\\B_x&=B’_x\\B_y&=B’_y\\B_z&=B’_z\end{align*}
と見比べると、今回の電場·磁場の変換は低速極限
\begin{align*}\frac{v}{c}\simeq0\end{align*}
での変換となっていることがわかる。
ローレンツ力の式のローレンツ変換
本ページでは、電場および磁場を適切に変換すると、ガリレイ変換の下でローレンツ力の式がその形を保つことを見た。さらに、電場および磁場をローレンツ変換に従って変換すれば、ローレンツ力の式はローレンツ変換の下でも同じ形を保つ。しかし、力そのものはローレンツ変換に対して不変ではなく、その変換則を導くには特殊相対論の枠組みが必要となる。そのため、本章ではガリレイ変換の場合に議論を限定する。
次ページから…
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞ローレンツ力のガリレイ変換
