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本ページでは、ローレンツ力のガリレイ変換を詳細に検討し、電場と磁場の変換の仮定によって式の不変性がどのように変化するかを明らかにする。ローレンツ力の式は、電場と磁場が荷電粒子に及ぼす力を記述する基本法則であるが、そのガリレイ変換を調べると、電場・磁場の変換則に関する重要な問題が浮かび上がる。さらに、その結果がヘルツ方程式との整合性にどのような制約を与えるのかを考察し、古典電磁気学とガリレイ変換の根本的な不整合に迫る。
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前ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で不変でない理由を、電磁波の波動方程式との関係から整理した上で、媒質の速度を明示的に導入したヘルツ方程式を導出した。さらに、ヘルツ方程式がガリレイ変換に対して不変となることを確認しつつ、その成立の前提と限界を検討することで、古典電磁気学とガリレイ相対性原理の整合性に潜む問題点を明らかにした。
内容
ローレンツ力の式のガリレイ変換
ローレンツ力の式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+q\boldsymbol v×\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{1}\end{align*}
のガリレイ変換について調べてみる。
ローレンツ力の式に現れる速度\(\boldsymbol v\)がどのようにガリレイ変換されるかは明確だが、電場\(\boldsymbol E\)と磁場(正確には磁束密度)\(\boldsymbol B\)はどのようにガリレイ変換されるのだろうか。はじめに、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)がガリレイ変換の下で不変であると仮定した場合を考える。
電場と磁場が変わらないとき
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+q\boldsymbol v×\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{1}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v\)と電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol B\)を
\begin{align*}\boldsymbol v&=\boldsymbol v’+\boldsymbol V\tag{2}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)\tag{3}\\\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)\tag{4}\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol H\)は変化せず、同じ点での値が同じであることを用いた)、ガリレイ変換後のローレンツ力の式は
\begin{align*}\boldsymbol F’=q\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+q(\boldsymbol v’+\boldsymbol V)×\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)\tag{5}\end{align*}
となってガリレイ変換前のローレンツ力の式の形と等しくならない。
ローレンツ力の式が提唱された当時、ガリレイ変換は正しいものであると考えられていたため、ローレンツ力もガリレイ変換で形を保つ必要があった。では、形が保てない原因はなんだろうか。ローレンツ力は粒子の運動に関する法則であり、マクスウェル方程式のように媒質の存在を前提としていないため、媒質の有無が直接の原因とは考えにくい。したがって、ローレンツ力の形が保たれない原因は、電場と磁場がガリレイ変換の下で不変であると仮定した点にある可能性が高い。そこで次に、電場と磁場が変換によって変化すると仮定する。
電場と磁場が変わるとき
電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)がガリレイ変換によって次のように
\begin{align*}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\boldsymbol V×\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{6}\\\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
変換すると考える。このように変換則を考えたのは、後でわかるがこのように変換するとローレンツ力の式はガリレイ変換によって不変となるからである。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+q\boldsymbol v×\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{1}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v\)と電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol B\)を
\begin{align*}\boldsymbol v&=\boldsymbol v’+\boldsymbol V\tag{2}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\boldsymbol V×\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)\tag{7}\\\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)\tag{4}\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照)、ガリレイ変換後のローレンツ力の式は
\begin{align*}\boldsymbol F’=q\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+q\boldsymbol v’×\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)\tag{8}\end{align*}
となってガリレイ変換前のローレンツ力の式の形と等しくなる。つまり、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)がガリレイ変換によって式(6)と式(4)のように変化すると仮定すると、ローレンツ力はガリレイ変換で結ばれたすべての慣性系で同じ形となる。
ヘルツ方程式のガリレイ変換
前ページで、ヘルツ方程式はガリレイ変換の下で不変であることを見たが、電場と磁場はガリレイ変換の下で変わらないと仮定をおいていた。しかし、ローレンツ力がガリレイ変換の下で不変であるとすると、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)はガリレイ変換の下で
\begin{align*}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\boldsymbol V×\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{6}\\\boldsymbol B'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol B(\boldsymbol x,t)\tag{4}\end{align*}
と変化しなければならなかった。この、変換の下でヘルツ方程式がどのように変換されるかを確認する。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)におけるヘルツ方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=0\tag{9}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)-\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)\tag{10}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=0\tag{11}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\epsilon_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)\tag{12}\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v_0\)と微分演算子、電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol H\)を
\begin{align*}\boldsymbol v_0&=\boldsymbol v’_0+\boldsymbol V\tag{13}\\\boldsymbol \nabla&=\boldsymbol \nabla’\tag{14}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\tag{15}\\\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{16}\\\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{17}\end{align*}
式(16)および式(17)では以下の式を用いた(以前のページを参照)。
\begin{align*}\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H\\\boldsymbol B’=\mu_0\boldsymbol H’\end{align*}
と置き換えればよいため(以前のページを参照)、ガリレイ変換後のヘルツ方程式は
\begin{align*}\boldsymbol \nabla’ \cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=0\tag{18}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\tag{19}\\\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0\boldsymbol V\cdot(\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))&=0\tag{20}\\\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\tag{21}\end{align*}
式(10)から式(19)への変形において、左辺と右辺は以下のように変形した。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0\boldsymbol\nabla’×(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\\&=\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0\boldsymbol V(\boldsymbol \nabla’\cdot\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))-\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\\&=\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\\-\mu_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)-\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\\&=-\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
左辺の変形において、2行目への変形では
を用い、3行目への変形では式(18)を用いた。また、右辺の変形において、2行目への変形では
を用いた。
式(11)から式(20)への変形において、左辺と右辺は以下のように変形した。
\begin{align*}\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0\boldsymbol\nabla’\cdot(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\\&=\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\mu_0\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\cdot(\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol V)+\mu_0\boldsymbol V\cdot(\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\\&=\boldsymbol\nabla’\cdot\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\mu_0\boldsymbol V\cdot(\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\end{align*}
式(12)から式(21)への変形において、左辺は
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H(\boldsymbol x,t)=\boldsymbol\nabla’×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
\begin{align*}\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)+\epsilon_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla)\boldsymbol E(\boldsymbol x,t)&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))-\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol\nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol\nabla’)(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)+\epsilon_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))-\epsilon_0\mu_0(\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’)(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\\&=\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t’}\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial }{\partial t’}(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))+\epsilon_0(\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol \nabla’)\boldsymbol E'(\boldsymbol x’,t’)-\epsilon_0\mu_0(\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla’)(\boldsymbol V×\boldsymbol H'(\boldsymbol x’,t’))\end{align*}
となってガリレイ変換前のヘルツ方程式の形と等しくならない。 つまり、ローレンツ力を不変に保つような電場と磁場の変換則を採用すると、ヘルツ方程式はガリレイ変換の下で不変とはならない。この結果は、古典電磁気学とガリレイ変換との間に本質的な不整合が存在することを示している。
次ページから…
次ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル
\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}
が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。
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