HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞波動方程式のガリレイ変換
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、波動方程式がガリレイ変換の下でどのように振る舞うかを詳しく検証する。また、媒質の静止系を基準にした記述において一見不変性が破れるように見える理由を明確にし、物理法則の記述における自由度の扱いについても整理する。
前ページまで⋯
前ページでは、ニュートンの運動方程式がガリレイ変換の下でどのように振る舞うかを詳しく検証した。特に、媒質が存在しない場合と存在する場合に分けて、方程式の形が不変に保たれることを具体的に示した。また、媒質の静止系を基準にした記述において一見不変性が破れるように見える理由を明確にし、物理法則の記述における自由度の扱いについても整理した。
内容
波動方程式のガリレイ変換
媒質に対する波の伝播速度が\(v\)で、媒質の速度が\(\boldsymbol v_0\)である波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol\nabla\right)^2\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
よく見かける波動方程式は媒質の静止系における波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
であるが、この方程式から媒質に対する波の伝播速度が\(v\)で、媒質の速度が\(\boldsymbol v_0\)である波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol\nabla\right)^2\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
を導くことができる。媒質の速度が\(\boldsymbol v_0\)である慣性系\(S’\)は媒質の静止系\(S\)に対して速度\(\boldsymbol V=-\boldsymbol v_0\)で運動するため、具体的には、媒質の静止系\(S\)における波動方程式からガリレイ変換
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\\&=\frac{\partial}{\partial t’}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol \nabla’\\\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
すれば
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t’}+\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol\nabla’\right)^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol\nabla’^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
となって、慣性系\(S’\)における波動方程式が得られる。後は静止系\(S\)における座標で表せば式(1)
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol\nabla\right)^2\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
が得られる。
がガリレイ変換の下で不変であることを確かめる。
慣性系\(S(\boldsymbol x,t)\)における波動方程式
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol\nabla\right)^2\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
において、速度\(\boldsymbol V\)で移動する慣性系\(S'(\boldsymbol x’,t’)\)へのガリレイ変換は速度\(\boldsymbol v_0\)と微分演算子、波動関数\(\varPsi\)を
\begin{align*}\boldsymbol v_0&=\boldsymbol v’_0+\boldsymbol V\\\boldsymbol \nabla&=\boldsymbol \nabla’\tag{20}\\\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol \nabla’\\\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
と置き換えればよいため(前々ページを参照、波動関数\(\varPsi\)は同じ点での値が同じであることを用いた)、ガリレイ変換後の波動方程式は
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t’}+\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol\nabla’\right)^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol\nabla’^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
となってガリレイ変換前の波動方程式の形と等しくなる。つまり、波動方程式はガリレイ変換で結ばれたすべての慣性系で同じ形となる。
媒質の静止系
媒質が存在する系では、｢媒質の静止系｣と｢媒質が運動する慣性系｣の2つが存在し、先ほどは｢媒質が速度\(\boldsymbol v_0\)で運動する慣性系\(S\)｣から｢媒質が速度\(\boldsymbol v_0’\)で運動する慣性系\(S’\)｣へのガリレイ変換を見た。
一方で、｢媒質の静止系\(S\)｣から｢媒質が速度\(\boldsymbol v_0’\)で運動する慣性系\(S’\)｣へのガリレイ変換では問題が生じる。｢媒質の静止系\(S\)｣において媒質の速度を\(\boldsymbol v_0=0\)と固定し、その結果として力\(\boldsymbol F\)の表式から媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)を消去した形
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
を出発点とすると、本来は同時にガリレイ変換されるべき媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)が式に含まれていないため、ガリレイ変換後の慣性系\(S’\)における式は
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t’}-\boldsymbol V\cdot\boldsymbol\nabla’\right)^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol\nabla’^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
となって元の式と同じ形を保てない。
以上より、媒質の静止系\(S\)からガリレイ変換すると不変性が見かけ上は破れたように見えるが、これは、媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)という自由度をあらかじめ消去した記述を用いたことに起因するものであり、媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)を含めた完全な形で記述すれば、ガリレイ変換の下で方程式の形は保たれる。実際に、ガリレイ変換後の慣性系\(S’\)において、媒質の速度\(v_0’\)は
\begin{align*}\boldsymbol v_0’=-\boldsymbol V\end{align*}
であるため、式()は
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t’}+\boldsymbol v’_0\cdot\boldsymbol\nabla’\right)^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)&=\boldsymbol\nabla’^2\varPsi'(\boldsymbol x’,t’)\end{align*}
となって、｢媒質が速度\(\boldsymbol v_0\)で運動する慣性系\(S\)｣からガリレイ変換した式()と等しくなる。また、この式から｢媒質な静止系\(S\)｣へガリレイ変換すると
\begin{align*}\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v_0\cdot\boldsymbol\nabla\right)^2\varPsi(\boldsymbol x,t)&=\boldsymbol\nabla^2\varPsi(\boldsymbol x,t)\end{align*}
となるはずであり、媒質の速度\(\boldsymbol v_0\)を含めた完全な形に戻すことができる。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式がガリレイ変換の下で方程式の形が保存されないことを確認し、古典力学と電磁気学の間に存在する不整合の本質を明らかにする。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 特殊相対性理論 ＞ ガリレイの相対性原理 ＞波動方程式のガリレイ変換
