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本ページでは、横方向速度を定義して、自由な開弦の端点は弦の垂直方向に光速で運動することを見る。
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前ページでは、静的ゲージ
\begin{align*}X^0=c\tau\tag{1}\end{align*}
\begin{align*}\tau=t\tag{2}\end{align*}
を採用し、南部-後藤作用
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\tau}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\sigma}\right)}\tag{3}\end{align}
を
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial\sigma}\right)^2+\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\tag{4}\end{align}
に変形した。
内容
初めに、今後、一貫して静的ゲージを用いることを伝えておく。
弦は内部構造を持たず、弦上のある点が「どの方向」に「どれくらいの速さ」で移動したかを特定することはできないため、明確な速度の定義はなく、いくつか異なる定義の速度が用いられる。
用いられる速度の定義のひとつとして「空間座標\(\boldsymbol X(t,\sigma)\)の時間\(t\)微分」
\begin{align*}\boldsymbol v=\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma)}{\partial t}\tag{5}\end{align*}
がある。粒子の速度においてこの定義がよく用いられるが、弦においてはこの定義を用いる際に注意が必要である。粒子の運動は時間\(t\)のみにパラメーター付けされているが、弦は\(t\)と\(\sigma\)にパラメーター付けされているため、上記の定義は時間\(t\)による偏微分となっており、\(\sigma\)が一定となる方向の速度となる。そして、南部-後藤作用はパラメーター付け替え不変性を持つため、どのようなパラメーター\(\sigma\)の付け方でもよく、パラメーター\(\sigma\)の付け方を変えると上記定義の速度\(\boldsymbol v\)も変わり、一意的に決まらない。
もうひとつの定義として、「横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)」がある。ある時刻における上記の定義式(5)の速度ベクトル\(\boldsymbol v\)を「弦の垂直方向ベクトル」と「弦の接線方向ベクトル」に分解した時、弦の垂直方向ベクトルが横方向速度にあたる。
横方向速度について調べる際に、新しいパラメーターとして、ある時刻\(t\)における弦の長さを表すパラメーター\(a\)を用いる(残念ながらパラメーター\(a\)はパラメーター\(\sigma\)の完全な代わりにはならない。その理由としては、パラメーター\(\sigma\)の範囲は全ての時刻で変わらないが、弦の長さは時刻によって変わるため、パラメーター\(a\)の範囲も変わるからである。)。弦の一方の端点では\(a=0\)となり、弦のもう一方の端点では\(a\)は弦の全長に等しくなる。ある時刻\(t\)において、弦の長さ\(a\)の微小変化量\(da\)は、時刻\(t\)を固定した際の微小変化量\(d\boldsymbol X\)の長さに等しく
\begin{align*}\left|\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right|=1\tag{6}\end{align*}
となり、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\)は単位ベクトルであることが分かる。また、ある時刻(\(t\)が一定)における無限小ベクトル\(d\boldsymbol X\)は弦に沿った接線方向ベクトルになり、パラメーター\(\sigma\)で表しても\(a\)で表しても等しいため
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma} d\sigma=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a} da\tag{7}\end{align*}
となり、変形すると
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\frac{d\sigma}{da}\tag{8}\end{align*}
となる。式(6)と(8)より、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\)は単位ベクトルであり、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\)と同様に弦の接線方向ベクトルであることがわかる。
あるベクトル\(\boldsymbol u\)において、単位ベクトル\(\boldsymbol n\)に直交する成分は
\begin{align*}\boldsymbol u-(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n)\boldsymbol n\tag{9}\end{align*}
となる。ベクトル\(\boldsymbol u\)が速度ベクトル\(\boldsymbol v=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\)、単位ベクトル\(\boldsymbol n\)が接線方向ベクトルの\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\)と考えると、垂直方向ベクトルの横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)は
\begin{align*}\boldsymbol v_\perp=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}-\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\tag{10}\end{align*}
と求まる。ここで注意だが、定義式(5)より\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\)の\(\boldsymbol X(t,\sigma)\)は\(t\)と\(\sigma\)にパラメーター付けされており、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\)の\(\boldsymbol X(t,a)\)は\(t\)と\(a\)にパラメーター付けされている。
速度\(\boldsymbol v\)と異なり横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)はパラメーター\(\sigma\)の付け方が変わっても不変であり、そのことは次のように確かめられる。\(\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma)}{\partial t}\)はパラメーター\(\sigma\)が一定の線に沿ったベクトル、\(\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma’)}{\partial t}\)はパラメーター\(\sigma’\)が一定の線に沿ったベクトルであり、それぞれに\(dt\)を掛けたベクトル\(\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma)}{\partial t}dt\)と\(\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma’)}{\partial t}dt\)それぞれの始点を時刻\(t\)の座標\(\boldsymbol X\)に置くと、それぞれの終点は時刻\(t+dt\)の弦上に存在し、2つのベクトルの差のベクトル
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma)}{\partial t}dt-\frac{\partial \boldsymbol X(t,\sigma’)}{\partial t}dt\tag{11}\end{align*}
は時刻\(t+dt\)の弦に沿ったベクトルになる。そのため、パラメーター\(\sigma\)や\(\sigma’\)で表した速度\(\boldsymbol v\)を「弦の垂直方向ベクトル」と「弦の接線方向ベクトル」に分解した時、弦の垂直方向ベクトルにあたる横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)はどのようなパラメーター付けでも変わらないことが分かる。
横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)の二乗を求めると
\begin{align*}\boldsymbol v_\perp^2&=\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)^2-2\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2+\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2\\&=\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2\tag{12}\end{align*}
となり、静的ゲージを用いて表した南部-後藤作用
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial\sigma}\right)^2+\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}\tag{4}\end{align}
を変形すると
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2+\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2\left[\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)^2+c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right]}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int dt d\sigma\sqrt{\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2\left(c^2-v_\perp^2\right)}\\&=-T_{\scriptsize 0}\int dt d\sigma\left(\frac{da}{d\sigma}\right)\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\\&=-T_{\scriptsize 0}\int dt da\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\tag{13}\end{align}
となる。
※※※1行目の変形では、
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\frac{da}{d\sigma}\tag{14}\end{align*}
を用い、2行目への変形では式(7)から導かれる
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}=1\tag{15}\end{align*}
を用い、3行目への変形では式(11)の横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)を用いて表した。※※※
南部-後藤作用の式(13)より、速度\(\boldsymbol v\)の接線方向ベクトルは作用に現れず、垂直方向ベクトルの横方向速度\(\boldsymbol v_\perp\)のみが現れていることが分かる。以前、世界面の作用を求める際に、速度\(\boldsymbol v=0\)として作用を求めたが、厳密には単なる速度\(\boldsymbol v\)ではなく、横方向速度\(\boldsymbol v_\perp=0\)が正しい。
最後に自由な開弦の端点について調べる。初めに、以前に定義した
\begin{align*}\mathcal P^\tau_\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{ X}^\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)X’_\mu-( X’)^2\dot X_\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{16}\\\mathcal P^\sigma_\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial X^\mu{}’}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)\dot X_\mu-( \dot X)^2X’_\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{17}\end{align*}
の両辺にミンコフスキー計量を掛けて、添字\(\mu\)を下付きから上付きに変えた次の量
\begin{align*}\mathcal P^{\tau\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)X’^\mu-( X’)^2\dot X^\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{18}\\\mathcal P^{\sigma\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)\dot X^\mu-( \dot X)^2X’^\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{19}\end{align*}
を考える。静的ゲージでは
\begin{align*}X’=\frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial \sigma},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)=\left(0,\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)\tag{20}\\\dot X=\frac{\partial X^\mu}{\partial \tau}&=\left(\frac{\partial X^0}{\partial t},\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)=\left(c,\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\tag{21}\end{align*}
となるため、先ほどの量\(\mathcal P\)は
\begin{align*}\mathcal P^{\tau\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)X’^\mu-\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma} \cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)\dot X^\mu}{\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)^2-\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma} \cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{-\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\frac{\partial X^\mu}{\partial a}\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a} \cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\dot X^\mu\left(\frac{da}{d\sigma}\right)^2}{c\frac{da}{d\sigma}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}\\&=\frac{T_{\scriptsize 0}}{c^2}\frac{da}{d\sigma}\frac{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\frac{\partial X^\mu}{\partial a}-\dot X^\mu}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}\tag{22}\end{align*}
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)\dot X^\mu-\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)X’^\mu}{\sqrt{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)^2-\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\left(-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma} \cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}\right)}}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{-\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\dot X^\mu\frac{da}{d\sigma}-\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\frac{\partial X^\mu}{\partial a}\frac{da}{d\sigma}}{c\frac{d\sigma}{da}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}\\&=\frac{T_{\scriptsize 0}}{c^2}\frac{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)\dot X^\mu+\left(c^2-\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\right)\frac{\partial X^\mu}{\partial a}}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}\tag{23}\end{align*}
となる。
※※※式(22),(23)の1行目の変形では式(20),(21)を代入し、2行目への変換では
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial \sigma}=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\frac{da}{d\sigma}\tag{24}\end{align*}
を用いた。また、式(22)では3行目への変形で式(15)を用いた。※※※
これらの量\(\mathcal P\)はかなり複雑な形をしているが、静的ゲージにおいて\(X^0\)に関しては次の関係
\begin{align*}\dot X^0=\frac{\partial X^0}{\partial \tau}=c\tag{25}\end{align*}
\begin{align*}\frac{\partial X^0}{\partial a}=c\frac{\partial t}{\partial a}=0\tag{26}\end{align*}
が成り立つため、\(\mathcal P^{\sigma0}\)は
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma0}=\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}\tag{27}\end{align*}
とかなりシンプルに表せる。
自由な開弦の境界条件(ノイマン境界条件)は
\begin{align*}\mathcal P^\sigma_\mu=0\ \ \ \text{at the endpoints}\tag{28}\end{align*}
であるため、添字\(\mu\)を下付きから上付きに変えた
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma\mu}=0\ \ \ \text{at the endpoints}\tag{29}\end{align*}
を用いると、式(27)は
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma0}=\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{\left(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\right)}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}}=0\ \ \ \text{at the endpoints}\tag{30}\end{align*}
となり、式(30)が成り立つためには
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\cdot\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}=0\ \ \ \text{at the endpoints}\tag{31}\end{align*}
が成り立たなければならない。式(31)を式(10)に代入すると
\begin{align*}\boldsymbol v_\perp=\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\ \ \ \text{at the endpoints}\tag{32}\end{align*}
となり、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial t}\)は弦の速度\(\boldsymbol v\)に相当するので、弦の端点は弦の横方向に運動することが分かる。
式(31),(32)を式(23)に代入すると
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma\mu}=T_{\scriptsize 0}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v^2_\perp}{c^2}}\frac{\partial X^\mu}{\partial a}\tag{33}\ \ \ \text{at the endpoints}\end{align*}
となり、境界条件の式(29)を用いると
\begin{align*}\mathcal P^{\sigma\mu}=T_{\scriptsize 0}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp}{c^2}}\frac{\partial X^\mu}{\partial a}=0\tag{34}\ \ \ \text{at the endpoints}\end{align*}
となる。式(34)をベクトルで表すと
\begin{align*}\boldsymbol{\mathcal P}^{\sigma}=T_{\scriptsize 0}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}=0\tag{35}\ \ \ \text{at the endpoints}\end{align*}
となり、式(35)が成り立つためには、\(\frac{\partial \boldsymbol X}{\partial a}\)がゼロにならないため(弦は粒子と異なり長さがあるため)、
\begin{align*}\vert\boldsymbol v_\perp\vert=c\tag{36}\ \ \ \text{at the endpoints}\end{align*}
が成り立たなくてはならず、端点は光速で動いていることが分かる。
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