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本ページでは、世界面を描く弦の相対論的作用である南部-後藤作用\(S\)から、相対論的な運動方程式と境界条件を導く。
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前々ページでは、世界面を導く相対論的な作用である南部-後藤作用\(S\)
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\sigma}\right)^2-\left(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_{\mu}}{\partial\tau}\right)\left(\frac{\partial X^\nu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_{\nu}}{\partial\sigma}\right)}\tag{1}\end{align}
を求め、前ページでは作用\(S\)がパラメーター付け替え不変性を持つことを見た。
内容
世界面の作用である南部-後藤作用(1)から、世界面を描く弦の運動方程式を求めてみる。初めに、表記をシンプルにするため、次のような表記
\begin{align*}\frac{\partial X^\mu}{\partial \tau}&=\dot{X}^\mu\tag{2}\\\frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}&=X^\mu{}’\tag{3}\end{align*}
を用いると、南部-後藤作用はシンプルに
\begin{align}S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu)^2(X^\nu{}’ X_\nu{}’)^2}\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}\tag{4}\end{align}
と書ける。この時、ラグラジアン密度は
\begin{align*}\mathcal L=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}\tag{5}\end{align*}
である。作用の変分をとると
\begin{align*}\delta S&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{X}^\mu}\delta \dot{X}^\mu+\frac{\partial \mathcal L}{\partial X’}\delta X^\mu{}’\right)\\&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\int d\tau d\sigma\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{X}^\mu}\frac{\partial (\delta X^\mu)}{\partial \tau}+\frac{\partial \mathcal L}{\partial X’}\frac{\partial (\delta X^\mu)}{\partial \sigma}\right)\tag{6}\end{align*}
となり、次の量
\begin{align*}\mathcal P^\tau_\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{ X}^\mu}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)X’_\mu-( X’)^2\dot X_\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{7}\\\mathcal P^\sigma_\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial X^\mu{}’}&=-\frac{T_{\scriptsize 0}}{c}\frac{(\dot{ X}\cdot X’)\dot X_\mu-( \dot X)^2X’_\mu}{\sqrt{(\dot{ X}\cdot X’)^2-(\dot{ X})^2( X’)^2}}\tag{8}\end{align*}
を定義すると、作用の変分は
\begin{align*}\delta S&=\int d\tau d\sigma\left(\mathcal P^\tau_\mu\frac{\partial (\delta X^\mu)}{\partial \tau}+\mathcal P^\sigma_\mu\frac{\partial (\delta X^\mu)}{\partial \sigma}\right)\tag{9}\end{align*}
となり、部分積分を用いると
\begin{align*}\delta S&=\int d\sigma\big[\delta X^\mu \mathcal P^\tau_\mu\big]^{\tau_f}_{\tau_i}+\int d\tau\big[\delta X^\mu \mathcal P^\sigma_\mu\big]^{\sigma_f}_{\sigma_i}-\int d\tau d\sigma\ \delta X^\mu\left(\frac{\partial \mathcal P^\tau_\mu}{\partial \tau}+\frac{\partial \mathcal P^\sigma_\mu}{\partial \sigma}\right)\tag{10}\end{align*}
と変形できる。
運動方程式を求める際に、どのような\(\delta X^\mu\)でも次の条件
\begin{align*}\delta S=0\tag{11}\end{align*}
を満たさないといけない。この条件を満たすには、
\begin{align*}\int d\sigma\big[\delta X^\mu \mathcal P^\tau_\mu\big]^{\tau_f}_{\tau_i}&=0\tag{12}\\\int d\tau\big[\delta X^\mu \mathcal P^\sigma_\mu\big]^{\sigma_f}_{\sigma_i}&=0\tag{13}\end{align*}
\begin{align*}\frac{\partial \mathcal P^\tau_\mu}{\partial \tau}+\frac{\partial \mathcal P^\sigma_\mu}{\partial \sigma}=0\tag{14}\end{align*}
を満たさなければならず、式(12),(13)は境界条件であり、式(14)が運動方程式である。
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