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本ページでは…
本ページでは、ファインマン核に含まれる各々の遷移確率振幅を計算し、位相空間での経路積分表示(1自由度)を求める。
ここで、1自由度とは例えば\(x\)軸上を粒子が行ったり来たりするイメージである。
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前ページでは、1自由度における2点間の遷移確率振幅であるファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の定義に、完全系を挿入することによって、複数点を経たときの遷移確率振幅として表せることを確認した。
\begin{align} K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F
}}}, t_{\scriptsize{\text{F
}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots
\\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I
}}}, t_{\scriptsize{\text{I
}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H
}}}\tag{1}
\end{align}
このとき、粒子は次のような経路を経る。
\begin{align} (q_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(q_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{2}\end{align}
式\((1)\)全体として、始状態\((q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)と終状態\((q_{\scriptsize{\text F}},q_{\scriptsize{\text F}})\)は固定されているが、中間状態\((q_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\)は積分\(\int dq_{\scriptsize{n}}\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。
内容
位相空間とは
位相空間とは位置\(q\)と運動量\(p\)の2組の独立変数\((q,p)\)からなる空間であり、この空間において関数は位置\(q\)と運動量\(p\)で表される。
遷移確率振幅の計算
ファインマン核の位相空間での経路積分表示(1自由度)を求める準備として、初めに、式\((1)\)に含まれる各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を次のように計算していく。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}t_{\scriptsize{n}}\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}×e^{+\frac{i}{\hbar}t_{\scriptsize{n-1}}\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}\\&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}(t_{\scriptsize{n}}-t_{\scriptsize{n-1}})\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \tag{3}\end{align*}
※※※1番目の等号ではシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像との関係式(以前のページを参照)
\begin{align*}\vert q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}=e^{+\frac{i}{\hbar}t\hat{H} (\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{4}\end{align*}
とブラとケットの関係式(以前のページを参照)
\begin{align*}\langle a\vert=\vert a \rangle^\dagger\tag{5}\end{align*}
の関係を用い、3番目の等号では
\begin{align*}\varDelta t\equiv t_{\scriptsize{n}}-t_{\scriptsize{n-1}}\tag{6}\end{align*}
と定義した。※※※
式(\(3\))の指数部分\(e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\)は、\(\varDelta t\)が十分小さいとき、次のように展開＆近似することができ、
\begin{align*} e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})} \simeq1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\tag{7}\end{align*}
この式を、式(\(3\))に代入して式変形を行なうと次のようになる。
\begin{align*} {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}&={}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq \sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}q_{\scriptsize{n}} \bigg\vert 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\bigg\vert q_{\scriptsize{n-1}}\bigg\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\sideset{_{\scriptsize{\text{S}}}}{}{\!\bigg\langle}q_{\scriptsize{n}}\bigg\vert \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t\hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})\right)\left(\int dp_{\scriptsize{n}}\ \vert p_{\scriptsize{n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{_{{\scriptsize{\text{S}}}}}\langle p_n\vert\right)\bigg\vert q_{\scriptsize{n-1}}\bigg\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&=\int dp_{\scriptsize{n}}\ \left(1-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert p_{\scriptsize{n}}\rangle_{{\scriptsize{\text{S}}}}{}_{{\scriptsize{\text{S}}}}\langle p_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}} \\&\simeq\int dp_{\scriptsize{n}}\ e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{n}}q_{\scriptsize{n}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{n}}q_{\scriptsize{n-1}}} \\&=\int \frac{dp_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\ \exp \left[\frac{i}{\hbar}\varDelta t\left\{p_{\scriptsize{n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{n}}-q_{\scriptsize{n-1}}}{\varDelta t}\right)-H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right\}\right]\tag{8} \end{align*}
※※※3番目の等号では完全系
\begin{align}\int^{\infty}_{-\infty}dp_{\scriptsize{n}}\ \vert p_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text S}}\ {}_{\scriptsize{\text S}}\langle p_{\scriptsize{n}}\vert =\boldsymbol I\tag{9}\end{align}
を挿入し、4番目の等号では
\begin{align*}{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert \hat H(\hat{q}_{\scriptsize{\text{S}}},\hat{p}_{\scriptsize{\text{S}}})=H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}}){}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert\tag{10} \end{align*}
を用い、5番目の等号では
\begin{align} 1-\frac{i}{\hbar}\varDelta t H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\simeq e^{-\frac{i}{\hbar}\varDelta tH(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})} \tag{11}\end{align}
と、座標の固有状態と運動量の固有状態の内積(以前のページを参照)
\begin{align} {}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle q_{\scriptsize{n}}\vert p_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2
\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{n}}q_{\scriptsize{n}}}\tag{12}\\{}_{\scriptsize{\text{S}}}\langle p_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{S}}}&=\frac{1}{\sqrt{2
\pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}p_{\scriptsize{n}}q_{\scriptsize{n-1}}}\tag{13}
\end{align}
を用いた。※※※
位相空間での経路積分表示
次に、式(\(8\))で求めた各々の遷移確率振幅\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)を式(\(1\))のファインマン核に代入して、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると次のように変形できる。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\ \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F }}}, t_{\scriptsize{\text{F }}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I }}}, t_{\scriptsize{\text{I }}}\rangle_{\scriptsize{\text{H }}} \\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{n}\right)\left(\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp_n}{2\pi\hbar}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\left\{p_{\scriptsize{n}}\left(\frac{q_{\scriptsize{n}}-q_{\scriptsize{n-1}}}{\varDelta t}\right)-H(q_{\scriptsize{n}},p_{\scriptsize{n}})\right\}\right] \tag{14}\end{align*}
これが位相空間での経路積分表示(1自由度)であり、位相空間のため位置\(q_{\scriptsize n}\)と運動量\(p_{\scriptsize n}\)で表されている(例えば、遷移確率振幅であるファインマン核に具体的な数値を代入すると、式(\(14\))は位置\(q_{\scriptsize n}\)と運動量\(p_{\scriptsize n}\)で表され、位置\(q_{\scriptsize n}\)と運動量\(p_{\scriptsize n}\)を軸とする平面にグラフが描かれる)。
次ページから⋯
次ページでは、ここで求めた位相空間での経路積分表示(多自由度)を、汎関数積分の形で表示することを試みる。
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